Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

Sejam  A ,   B   e   C  conjuntos de números inteiros, tais que A  tem 8 elementos, B tem 4 elementos, C tem 7 elementos e A ∪ B ∪ C  tem 16 elementos. Então, o número máximo de elementos que o conjunto D = A ∩ B ∪ ( B ∩ C ) pode ter é igual a:

a   1

b   2

c   3

d   4

Passo 1

Bom, queremos n ( D ) né? Mas primeiro, vamos trabalhar com as informações que foram dadas:

n A ∪ B ∪ C = 16

n A = 8

n B = 4

n C = 7

Passo 2

Mas existe uma relação, que é a seguinte:

n A ∪ B ∪ C = n A + n B + n C - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n ( A ∩ B ∩ C )

E olha só o que o problema nos forneceu! Vamos substituir:

16 = 8 + 4 + 7 - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n A ∩ B ∩ C

- 3 = - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n A ∩ B ∩ C

n A ∩ B + n A ∩ C + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3

Vamos guardar isso por enquanto, ok? Guarda aí!

Passo 3

Bora atacar o problema por outro lado:

n D = n A ∩ B ∪ B ∩ C

Aqui vai mais uma relação:

n A ∩ B ∪ B ∩ C = n A ∩ B + n B ∩ C - n ( A ∩ B ∩ C )

Então:

n D = n A ∩ B + n B ∩ C - n ( A ∩ B ∩ C )

Só que se a gente olhar para aquela equação ali:

n A ∩ B + n A ∩ C + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3

Passando o termo n ( A ∩ C ) pro outro lado, ficamos com:

n A ∩ B + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3 - n A ∩ C

Perceba que o lado esquerdo é justamente o que queremos, logo:

n D = 3 - n A ∩ C

E como desejamos que ele seja MÁXIMO, isso só acontece quando n A ∩ C = 0 e logo o número máximo de elementos é 3 .

Resposta

L e t r a   ( c )

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