Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

Dados os conjuntos A = 1,3 ,   B = 1,5 ,   C = [ 2,4 ,   D = 3,6 [ , representa graficamente, no plano cartesiano

a ) A × B - C × D ;

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos esses quatro conjuntos

A = 1,3 ,   B = 1,5 ,   C = [ 2,4 ,   D = 3,6 [

e pediu para representarmos graficamente o produto cartesiano no plano cartesiano A × B - C × D ; . Mas, como fazer isso?

O produto cartesiano é um conjunto formado pelos pares ordenados envolvendo os elementos dos dois conjuntos dados

Ué, como assim?

Se tivermos dois conjuntos com elementos, vamos resgatar do primeiro elemento a abscissa e do segundo conjunto a ordenada do ponto

A = 1,2 ,   B = { 3,4 }

Fazendo o produto cartesiano A × B temos que as abscissas dos pontos vêm de A e a ordenada de B

1,3 ,   1,4 ,   2,3 ,   ( 2,4 )

Então vamos ter quatro pontos! Se a ordem for trocada, vamos ter outros pontos, aqui precisamos ter atenção!

Beleza?

E se algum desses conjuntos for um intervalo? Então não vamos ter pontos e sim segmentos de retas! Isso mesmo! Aqui você precisa ter atenção se o intervalo é aberto ou fechado, isso vai ser importante no início e no fim do seu segmento (bolinha aberta ou fechada). E no caso de os dois conjuntos serem intervalos? Então teremos uma região!

Então a ideia é achar as duas regiões A × B   e   C × D , e fazer a operação

A × B - C × D

Isto é, queremos toda região A × B que não é comum a região   C × D ,

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A primeira região é com os conjuntos

A = 1,3 ,   B = 1,5

A × B entre eles temos:

Tranquilo até aqui?

C × D , com os conjuntos C = [ 2,4 ,   D = 3,6 [ é a região:

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Nosso passo final será retirar todos os elementos da primeira região que sejam em comuns com a segunda região! Fazendo a subtração de abscissa com abscissa, e ordenada com ordenada temos

A = 1,3 ,   B = 1,5

E

C = [ 2,4 ,   D = 3,6 [

L como região!

Então para descrever precisamos separar em dois produtos cartesianos:

A parte de baixo do L :

1,3 × 1,3

E a coluna para cima:

1,2 × 3,5

Assim nossa região hachurada fica a união das duas:

1,3 × 1,3 ∪ 1,2 × 3,5

E a representação gráfica fica assim:

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

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Prove que todo subconjunto do R 2 com um número finito de pontos tem conteúdo nulo.
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Sejam AeB subconjuntos do R 2 com A ⊂ B . Prove que se B tiver conteúdo nulo, então A também terá.