Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

Sejam dados os conjuntos X = { 0 } , Y = { 0 ,   1 } e Z = { 0 ,   1 } . Determine se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:

a) X ∈ Z

b) X ⊂ Z

c) X ∩ Z ≠ ∅

d) X ∩ Y ≠ ∅

e) Y ⊂ Z

Passo 1

Bom, vamos começar pelo item a). Então, dá uma olhada na seguinte afirmação:

X ∈ Z

Beleza, mas quem é X ?

X é um conjunto que possui como único elemento o número 0, ou seja, X = { 0 } . Logo, queremos saber se { 0 } ∈ Z .

Bom, em Z , temos o elemento { 0 } dentro dele. Então, simmm:

X = 0 ∈ Z

Logo, o item a) é verdadeiro.

Uma observação: seria falso se fosse 0 ∈ Z . Pois o elemento 0 não está em Z , beleza?

Lembre-se: a nomenclatura “pertence” refere-se apenas a elementos.

Passo 2

Vamos agora para o item b):

X ⊂ Z

Vamos lá: podemos dizer que X ⊂ Z se para cada elemento dentro do X , esse elemento também está no Z . Ou seja, vamos olhar para cada elemento de X e ver se ele também está em Z .

No caso, o único elemento de X é o 0 , certo?? E ele está em Z ?? Nãããoo! Como já até vimos na observação do passo anterior!

Quem está em Z é o elemento { 0 } , não o 0 , beleza??

Logo, a afirmação é falsa.

Lembre-se: a nomenclatura “está contido” refere-se apenas a conjuntos.

Passo 3

Show de bola! Vamos para o item c):

X ∩ Z ≠ ∅

Essa afirmação está dizendo que existem elementos comuns nos conjuntos X e Z , sendo assim a interseção desses dois conjuntos não gera um conjunto vazio.

SUPER MENTIRA!

Uma vez que não existem elementos comuns nos conjuntos X e Z .

Não se confunde, hein!? X possui o elemento 0, já Z possui um subconjuntos que tem como único elemento o número 0.

Passo 4

E o item d), é verdadeiro?

X ∩ Y ≠ ∅

Bem, ele nos diz que existem elementos comuns nos conjuntos X e Y , sendo assim a interseção desses dois conjuntos não gera um conjunto vazio.

VERDADE VERDADEIRA!

Já que os dois conjuntos possuem o elemento 0, logo o resultado desse interseção é um conjunto com um único elemento, que é 0.

Passo 5

Por fim, temos a afirmação e):

Y ⊂ Z

O conjunto Y está contido em Z ?

Vish! Super falso...

Isso porque precisaríamos que todo elemento de Y estivesse em Z também! E, de cara, isso não acontece, pois 0 ∈ Y , mas 0 não pertence a Z . Beleza??

Resposta

Portanto, temos aqui o nosso gabarito lindo:

a) V

b) F

c) F

d) V

e) F

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