Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

A imagem de f x = x x - x , com x ∈ - 1,2 é

a) - 1 4 ,   2

b) 0,2

c) - 1 4 , 1 4

d)N.A]

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função

f x = x x - x

E perguntou qual é o conjunto imagem se x ∈ - 1,2

Mas como resolver esse problema?

Precisamos relembrar que achar o conjunto imagem significa encontrar os valores possíveis da função!

Beleza?

então a ideia é olhar o domínio e substituir na função para analisarmos nossa imagem! Mas claro, a função envolve o módulo, então precisamos ver sua cara antes do zero e depois!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Para x < 0 a função fica

f x = x x - x

f - x = - x 2 - x

E o menor valor de x é x = - 1 então a imagem

f - 1 = - - 1 2 - - 1 = 0

Olhando o gráfico temos

Uma parábola de boca para baixo, cujo vértice é em x v = - b 2 a = - 1 2 e imagem y v = - Δ 4 a = 1 4 .

Beleza? Vamos ver a cara da função na parte positiva para verificar que temos um valor menor que 0

Passo 3

Agora vamos ver a cara da função para x > 0

f x = x x - x

f + x = x 2 - x

Temos uma parábola de boca pra cima com vértice em

x v = 1 2

E imagem

y v = 1 4 - 1 2 = - 1 4

Aí temos nosso menor valor da imagem! E o maior? Será no outro extremo do intervalo

x = 2

f 2 = 2 2 - 2 = 2

Assim nossa imagem entre x ∈ [ - 1,2 ] é

- 1 4 ,   2

Alternativa (a)

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

( a )  

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Sejam AeB subconjuntos do R 2 com A ⊂ B . Prove que se B tiver conteúdo nulo, então A também terá.