Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

Encontre os valores de m para que as raízes de x 2 + m x + 2 = m , sejam estritamente positivas.

a) ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( - 2 , ∞ )

b) ( 0,2 )

c) ( - ∞ ,   - 2 3 - 2 ) ∪ ( 2 3 - 2 ,   ∞ )

d)N.A

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação de segundo grau

x 2 + m x + 2 = m

x 2 + m x + 2 - m = 0

E pediu para determinarmos m de forma que tenhamos raízes estritamente positivas

Mas como resolver isso?

Precisamos relembrar das condições de existência das raízes de uma parábola! Queremos raízes positivas, então primeiro precisamos que elas sejam reais!

Beleza?

E como escolher fazer com que isso ocorra? Lembrando da forma quadrática

a x 2 + b x + c = 0

E que

Δ = b 2 - 4 a c

Esse Δ é nosso discriminante! E para que a função tenha raízes estritamente positivas, precisamos que suas raízes sejam reais com Δ > 0 e excluir o zero!

O resto é identificar os coeficientes e calcular!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossos coeficientes são

x 2 + m x + 2 - m = 0

a = 1

b = m

c = 2 - m

E o discriminante

Δ = m 2 - 4.1 . 2 - m > 0

m 2 - 8 + 4 m > 0

m 2 + 4 m - 8 > 0

Beleza?

Agora é só resolver essa desigualdade!

Passo 3

Agora vamos resolver a inequação

m 2 + 4 m - 8 > 0

Completando quadrado temos

m 2 + 4 m + 4 - 8 - 4 > 0

m + 2 2 > 12

E aí temos que

m + 2 > 12

Simplificando temos

m > 2 3 - 2

E também

m + 2 < - 12

Simplificando

m < - 2 3 - 2

Aí nosso intervalo fica

- ∞ , - 2 3 - 2 U 2 3 - 2 ,   + ∞

Alternativa (c)

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

( c )  

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