Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

No diagrama de Venn-Euler abaixo, cada região foi denominada com um número entre parênteses indicar as regiões que determinam:

a   A ∩ B

b   A ∪ B

c   A - B

d   A C

e   B C

f   A ∪ B C

g   A ∩ B C

Passo 1

Amigx, se prepara porque você vai ver muito essa figura aqui no exercício hahaha BORA LÁ!

a

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A ∩ B

Ou seja, a área comum do diagrama entre A e B , look at this:

Concorda comigo que é área de número 1 ? É a parte que pertence tanto ao conjunto A quanto ao B , AO MESMO TEMPO.

Passo 2

b

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A ∪ B

Ou seja, a área toda do diagrama que representa o conjunto A e o B unidos, take a look:

Concorda comigo que são as áreas de números 1 ,   2   e   3 ? São as partes que pertencem ao conjunto A , ou ao B ou aos dois.

Passo 3

c

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A - B

Ou seja, a área toda do diagrama que representa o conjunto A e aí a gente tira tudo que é do conjunto B também, take a look:

Concorda comigo que é a área de número 2 ? É parte que pertence somente ao conjunto A , sem nada do que tinha em comum com B . Basicamente, é você tirar a interseção dos dois, que na figura era o número 1 .

Passo 4

d

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A C

Já que estamos tratando de complementar, vale dizer que o complementar de um conjunto é tudo aquilo que NÃO é o próprio conjunto. Na imagem, tenta ver quem seria o complementar de A .

O que temos que pegar aqui são todas as áreas que NÃO são do conjunto A , que no caso são as áreas de números 3 e 4 .

Passo 5

e

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

B C

Já que estamos tratando de complementar, vale dizer que o complementar de um conjunto é tudo aquilo que NÃO é o próprio conjunto. Na imagem, tenta ver quem seria o complementar de B .

O que temos que pegar aqui são todas as áreas que NÃO são do conjunto B , que no caso são as áreas de números 2 e 4

Passo 6

f

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

( A ∪ B ) C

Agora que você já está cansado de ver o complementar, decidi dar uma esquentadinha. Bora tentar fazer esse? Faremos de duas formas. Primeiro, vamos resolver de dentro para fora, vamos ver quais são as áreas da união desses conjuntos:

São as áreas 1 ,   2   e   3 . Agora vamos tomar o complementar delas, ou seja, vamos pegar a área que NÃO seja ela, ok? Nesse caso é a área 4 .

Agora faremos de outra forma, usando a propriedade do complementar:

( A ∪ B ) C = A C ∩ B C

Bom, já vimos que os números que representam o complementar de A são 3   e   4 e os números que representam o complementar de B são 2   e   4 .

O número que aparece nos dois é aquele que representa a área de interseção dos complementares. No caso, o número 4 .

Passo 7

g

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

( A ∩ B ) C

Agora que você já está cansado de ver o complementar, decidi dar uma esquentadinha. Bora tentar fazer esse? Faremos de duas formas. Primeiro, vamos resolver de dentro para fora, vamos ver quais são as áreas da interseção desses conjuntos:

É a área 1 . Agora vamos tomar o complementar dela, ou seja, vamos pegar a área que NÃO seja ela, ok? Nesse caso é a área representada pelos números 2 ,   3   e   4 .

Agora faremos de outra forma, usando a propriedade do complementar:

( A ∩ B ) C = A C ∪ B C

Bom, já vimos que os números que representam o complementar de A são 3   e   4 e os números que representam o complementar de B são 2   e   4 .

Se unirmos todos esses caras ficamos com 2 ,   3   e   4 .

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Prove que todo subconjunto do R 2 com um número finito de pontos tem conteúdo nulo.
Prove que o conjunto vazio tem conteúdo nulo.
Sejam A   e   B subconjuntos do R 2 com A ⊂ B . Prove que se B tiver conteúdo nulo, então A também terá.