Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2014.2, Questão 2a

a Em R 2 , considere o produto interno a , b , c , d = a c + 4 b d .

Seja T : R 2 R 2 um operador linear dado por:

T x , y = - x + y 2 , 2 x + y 2

O operador T é autoadjunto?

Passo 1

Para um operador ser autoadjunto, precisamos que:

T u , v = u , T v

Definimos:

u = u 1 , u 2

v = v 1 , v 2

Então:

T u = - u 1 + u 2 2 , 2 u 1 + u 2 2

T v = - v 1 + v 2 2 , 2 v 1 + v 2 2

Substituindo:

- u 1 + u 2 2 , 2 u 1 + u 2 2 , v 1 , v 2 = u 1 , u 2 , - v 1 + v 2 2 , 2 v 1 + v 2 2

- u 1 v 1 2 + u 2 v 1 2 + 4 u 1 v 2 + 2 u 2 v 2 = - u 1 v 1 2 + u 1 v 2 2 + 4 u 2 v 1 + 2 u 2 v 2

7 2 u 1 v 2 = 7 2 u 2 v 1

u 1 v 2 = u 2 v 1

Como podemos ver a igualdade não vale para quaisquer vetores u e v . Logo, T não é autoadjunto.

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Resposta

Não.

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