Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

Seja T : V → V operador linear. Mostre que: se T   é operador auto-adjunto e ortogonal ao mesmo tempo e A =   [ T ] α α , para α uma base ortonormal, então A 2 = I .

Passo 1

Primeiramente, vamos lembrar o que quer dizer um operador ser auto adjunto e ortogonal.

Se T   é auto-adjunto,   [ T ] α α = A = A T , ou seja, a matriz que o representa em uma base ortonormal é simétrica!

Se T   é ortogonal, [ T ] α α = A T = A - 1 , ou seja a matriz inversa é igual a matriz transposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, como o operador tem todas essas características ao mesmo tempo, chegamos a conclusão que A = A T = A - 1

Agora, vamos calcular A 2 .

A 2 = A ∙ A

Como A = A T = A - 1 ,   podemos dizer que:

A 2 = A ∙ A - 1

Mas o produto de uma matriz com a sua inversa é sempre a matriz identidade!!

A 2 = I

Oba!! Conseguimos provar o que queríamos!!

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