Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

Álgebra Linear e suas aplicações, Petronio Pulino, Departamento de matemática aplicada da UNICAMP

Considere o espaço vetorial R 3 com o produto interno usual e seja T o operador linear sobre R 3 definido por:

T x ,   y ,   z = x cos ⁡ θ - y sin ⁡ θ ,   x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ ,   z

onde θ é um ângulo fixo. Mostre que T é um operador ortogonal.

Passo 1

Para mostrarmos que T é ortogonal, primeiro vamos escrever esse operador em uma matriz na base canônica:

T = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Para mostrarmos que é ortogonal, vamos verificar o produto interno entre os elementos das colunas beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazendo os produtos internos:

cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ ,   0 ,   - sin ⁡ θ ,   cos ⁡ θ ,   0 = - cos ⁡ θ . sin ⁡ θ + sin ⁡ θ . cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 = 0

0 ,   0 ,   1 ,   - sin ⁡ θ ,   cos ⁡ θ ,   0 = 0

Aeee, deu tudo 0, isso quer dizer que o operador é ortogonal :)

Resposta

Demonstração.

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