Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

A3 T18

a Considere para o espaço vetorial R 2 o produto interno usual. Seja T : R 2 → R 2 a transformação linear dada por T x , y = 2 x - y , - x + 3 y . O operador T é Autoadjunto?

Passo 1

O operador linear T : V → V é autoadjunto (ou simétrico) se a matriz que o representa em uma base ortonormal β de V é simétrica.

Como estamos usando o produto interno usual, então a base canônica do R 2 é uma base ortonormal! Escrevendo T na base canônica:

T x , y = 2 x - y - x + 3 y = 2 - 1 - 1 3 x y

Temos que a matriz T = 2 - 1 - 1 3 é simétrica, então T é autoadjunto.

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Resposta

Sim.

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