Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

UFPE, Álgebra Linear, P3/2015.2, 3

Seja T : R 3 → R 3 a transformação linear dada por

T x , y , z = z 2 - x 2 , x + z 2 , y

Considere para o espaço vetorial R 3 o produto interno a , b , c , d , e , f = 2 a d + b e + c f . O operador T é autoadjunto? E o operador T é ortogonal?

Passo 1

Para o operador ser autoadjunto precisamos que, para quaisquer vetores u e v :

T u , v = u , T v

Temos que:

T u = T u 1 , u 2 , u 3 = u 3 2 - u 1 2 , u 1 + u 3 2 , u 2

Analogamente:

T v = v 3 2 - v 1 2 , v 1 + v 3 2 , v 2

Substituindo na fórmula:

u 3 2 - u 1 2 , u 1 + u 3 2 , u 2 , v 1 , v 2 , v 3 = u 1 , u 2 , u 3 , v 3 2 - v 1 2 , v 1 + v 3 2 , v 2

v 1 u 3 - 2 v 1 u 1 2 + v 2 u 1 + v 2 u 3 2 + v 3 u 2 = v 3 u 1 - 2 v 1 u 1 2 + v 1 u 2 + v 3 u 2 2 + v 2 u 3

Ta uma zona isso aí, com certeza não é igual haha. Então T não é autoadjunto.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para que T seja ortogonal, precisamos que:

T u , T v = u , v

Usando os resultados do Passo 1:

u 3 2 - u 1 2 , u 1 + u 3 2 , u 2 , v 3 2 - v 1 2 , v 1 + v 3 2 , v 2 = u 1 , u 2 , u 3 , v 1 , v 2 , v 3

u 3 v 3 2 - u 1 v 3 2 - u 3 v 1 2 + u 1 v 1 + u 1 v 1 + u 3 v 1 2 + u 1 v 3 2 + u 3 v 3 2 + u 2 v 2 = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

0 = 0

Opa, deu certinho! Logo, nosso operador T é ortogonal!

Resposta

T não é autoadjunto mas é ortogonal.

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