Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

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Enunciado

Verifique se as funções abaixo são operadores lineares ou não:

b) T a ,   b = ( 2 b - 4 a ,   2 a + 4 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função T a ,   b = ( 2 b - 4 a ,   2 a + 4 ) e pediu pra gente verificar se ela é um operador linear. Para que esse seja um operador linear, ele precisa satisfazer as duas condições de uma transformação linear. Mas quais condições são essas?

Vamos relembrá-las:

Dizemos que algo é linear se ele satisfaz as seguintes propriedades:

T a + b = T a + T ( b )

T λ a = λ T a ,     ∀   λ ∈ R

Então, o que nós vamos fazer é aplicar a função que ele nos deu nessas duas propriedades e ver se os resultados são satisfeitos.

Vamos lá!

Passo 2

Verificando a primeira propriedade, vamos assumir que:

T a 1 ,   b 1 + T a 2 ,   b 2 = T ( a 1 + a 2 ,   b 1 + b 2 )

Agora vamos pegar só o lado esquerdo da igualdade e aplicar a transformação T a ,   b = ( 2 b - 4 a ,   2 a + 4 ) :

T a 1 ,   b 1 + T a 2 ,   b 2

2 b 1 - 4 a 1 ,   2 a 1 + 4 + ( 2 b 2 - 4 a 2 , 2 a 2 + 4 )

Somando cada componente:

2 b 1 + 2 b 2 - 4 a 1 - 4 a 2 ,   2 a 1 + 4 + 2 a 2 + 4

2 b 1 + 2 b 2 - 4 a 1 - 4 a 2 ,   2 a 1 + 2 a 2 + 8

Beleza, agora vamos pegar o lado direito da igualdade lá de cima:

T ( a 1 + a 2 ,   b 1 + b 2 )

Aplicando a transformação:

( 2 b 1 - 4 a 1 + 2 b 2 - 4 a 2 ,   2 a 1 + a 2 + 4 )

( 2 b 1 + 2 b 2 - 4 a 1 - 4 a 2 ,   2 a 1 + 2 a 2 + 4 )

Opa! Os resultados não são iguais. Logo, podemos dizer que a primeira propriedade não é satisfeita. E não precisamos nem testa a segunda para dizer que, a função não é um operador linear.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   é   u m   o p e r a d o r   l i n e a r

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