Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

(a) Dado T : V → V um operador autoadjunto. Seja u o autovetor de T associado ao autovalor λ 1 = 1 e seja v o autovetor de T associado ao autovalor λ 2 = 2 .   Então u , v = 2 .

(b) Dados u , w   ∈ V temos que:

u + w 2 = 2 u , w + u - w 2

(c) Considere R 2 com produto interno ∙ , ∙ tal que - 1,2 , ( 0 , - 2 ) = - 2 ,   então α = { 1 , - 1 , 0,1 } é uma base ortonormal.

Passo 1

(a) Como T é um operador autoadjunto, a matriz que representa a transformação T é simétrica.

Lembra do teorema espectral?? Então, ele nos diz que se a matriz T é simétrica, então ela possui uma base de autovetores ortogonais, com cada autovetor associado a um autovalor distinto.

Como foi dito que u é autovetor associado a λ 1 = 1 e v é autovetor associado a λ 2 = 2 (autovalores distintos!!) então u e v tem que ser ortogonais.

Logo:

u , v = 0

E a afirmação é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Vamos começar lembrando que, sendo v um elemento do espaço vetorial V:

v , v = v 2

Vamos aplicar isso ao elemento u+w de V:

u + w 2 = u + w , u + w

Agora vamos aplicar ao elemento u-w de V:

u - w 2 = u - w , u - w

Vamos subtrair essa segunda equação da primeira. Aí temos:

u + w 2 - u - w 2 = u + w , u + w - u - w , u - w

Aplicando as propriedades de linearidade do produto interno:

u + w 2 - u - w 2 = u , u + u , w + w , u + w , w - u , u - u , - w - - w , u - - w , - w

u + w 2 - u - w 2 = u , u + u , w + w , u + w , w - u , u + u , w + w , u - w , w

u + w 2 - u - w 2 = 2 u , w + 2 w , u

Pela propriedade da simetria do produto interno:

u , w = w , u

Então:

u + w 2 - u - w 2 = 4 u , w

Daí:

u + w 2 = 4 u , w + u - w 2

E a afirmação é falsa!

Passo 3

(c) Foi definido no enunciado um novo produto interno de R 2   tal que:

- 1,2 , 0 , - 2 = - 2 ,

Escolhendo então os elementos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) , esse produto interno pode ser dado por:

x 1 , y 1 , ( x 2 , y 2 ) = 1 2 y 1 y 2

Para verificar se a base α = { 1 , - 1 , 0,1 } dada é ortonormal, basta verificar se o produto interno (que definimos acima) dos elementos da base é nulo!

Fazendo isso:

1 , - 1 , 0,1 = 1 2 - 1 1 = - 1 2

Como

1 , - 1 , 0,1 ≠ 0

A base não é ortonormal e a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa

(b) Falsa

(c) Falsa

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