Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

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Enunciado

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.

(a) Sejam u , v vetores do espaço munido de produto interno V . Se u + v é ortogonal a u - v , então u = v .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para resolver essa questão temos que compreender algumas propriedades de vetores ortogonais, soma de vetores e produto interno.

O principal objetivo dessa questão é determinar se a afirmação de que dado dois vetores u e v , se u + v é ortogonal a u - v , então u = v .

Vetores ortogonais podem ser verificados sem muitos mistérios, quando o produto interno entre eles é igual a zero.

Também precisamos saber que o módulo de um vetor é calculado a partir da raiz da soma dos quadrados de suas coordenadas componentes, por exemplo, se x → = x , y , z

x → = x 2 + y 2 + z 2

Com essas informações podemos começar nossos cálculos para encontrar o resultado.

Passo 2

Vamos chamar o vetor u de u = u 1 , u 2 , u 3 e o vetor v de v = v 1 , v 2 , v 3 .

Agora vamos verificar a afirmação de que u = v quando u + v for ortogonal a u - v

Lembrando que dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é igual a zero.

Vamos calcular os vetores u + v e u - v .

O vetor u + v , será

u + v = u 1 , u 2 , u 3 + v 1 , v 2 , v 3

u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3

O vetor u - v , será

u - v = u 1 , u 2 , u 3 - v 1 , v 2 , v 3

u - v = u 1 - v 1 , u 2 - v 2 , u 3 - v 3

Calculando o produto interno entre eles e forçando a ser igual a zero, podemos encontrar algo interessante, veja só

u + v · u - v = 0

u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 · u 1 - v 1 , u 2 - v 2 , u 3 - v 3 = 0

u 1 + v 1 u 1 - v 1 + u 2 + v 2 u 2 - v 2 + u 3 + v 3 u 3 - v 3 = 0

Resolvendo a distributiva entre os produtos, temos

u 1 2 - v 1 u 1 + v 1 u 1 - v 1 2 + u 2 2 - v 2 u 2 + v 2 u 2 - v 2 2 + u 3 2 - v 3 u 3 + v 3 u 3 - v 3 2 = 0

u 1 2 - v 1 2 + u 2 2 - v 2 2 + u 3 2 - v 3 2 = 0

Separando u de um lado e v do outro, temos

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

Tirando a raiz dos dois lados

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

Lembra que o módulo vetor é calculado a partir da raiz da soma dos quadrados que suas coordenadas.

Ou seja, isso que encontramos nada mais é que o módulo de u é igual o módulo de v !

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

u = v

Isso significa que a afirmação é verdadeira! Bacana né?

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A afirmação é verdadeira

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