Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

Seja V um espaço vetorial munido com produto interno e T : V → V um operador linear ortogonal. Se u , w ∈ V são ortogonais, podemos afirmar que T u + T w 2 - T u - T w 2 = 0 ?

Passo 1

Se temos um operador T ortogonal, então:

  • As linhas da matriz que representa T formam um conjunto ortonormal
  • As colunas da matriz que representa T formam um conjunto ortonormal
  • T preserva a norma: T v = v
  • T preserva o produto interno: T u , T ( v ) = u , v
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular T u + T w 2 e T u - T w 2 .

Temos:

T u + T w 2 = T u 2 + 2 T u , T ( w ) + T w 2

T u - T w 2 = T u 2 - 2 T u , T ( w ) + T w 2

Mas o enunciado disse que u e w são ortogonais, isso significa que:

u , w = 0

Mas o operador T é ortogonal, então ele preserva o produto interno:

T u , T ( w ) = u , w = 0

Logo:

T u + T w 2 = T u 2 + T w 2

T u - T w 2 = T u 2 + T w 2

Fazendo a equação de cima menos a de baixo:

T u + T w 2 - T u - T w 2 = T u 2 + T w 2 - T u 2 - T w 2

T u + T w 2 - T u - T w 2 = 0

Resposta

Sim.

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