Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

Considere R 4 com produto interno canônico. Seja T :   R 4 → R 4 uma transformação linear dada por:

T x , y , z , t = 1 2 y + 1 2 t ,   x , - 1 2 y + 1 2 t , z

T é autoadjunta? T é ortogonal? Justificar.

Defina operador adjunto e operador ortogonal.

Passo 1

Vamos começar definindo o que é um operador autoadjunto e um operador ortogonal.

Um operador T é autoadjunto se e só se a matriz que representa T for simétrica, ou seja, se A é a matriz que representa T, então T é adjunto se e somente se:

A = A T

Já um operador T é ortogonal se e só se a matriz A que representa T satisfizer:

A A T = I

Onde I é a matriz identidade.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora sabemos que para verificar se T é autoadjunta, precisamos ver se a matriz que a representa é simétrica.

Vamos considerar a base canônica ε do R 4 . A matriz da transformação linear T vai ser dada por:

A = T ε ε

Fazendo a transposta:

Como:

A ≠ A T

A não é simétrica, logo T não é adjunta.

Passo 3

Vamos verificar se A é ortogonal. Fazendo o produto:

Como:

A A T = I

Então T é ortogonal.

Resposta

T não é adjunta.

T é ortogonal.

T é autoadjunta se e somente se a matriz A é simétrica.

T é ortogonal se e somente se a matriz A é ortogonal.

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