Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

A3 T18

b Suponha que α é uma base ortonormal de R 3 com respeito a um dado produto interno. Seja T um operador linear T : R 3 → R 3 tal que:

T α α = 1 3 2 - 2 1 2 1 - 2 1 2 2

T é um operador ortogonal?

Passo 1

Seja V um espaço vetorial, temos que o operador linear T : V → V é ortogonal se a matriz que o representa em uma base ortonormal β de V é ortogonal.

Ele já diz pra gente que α é uma base ortonormal do R 3 e já dá até a matriz da transformação na base α de bandeja pra gente haha. Só precisamos verificar se T α α é ortogonal.

Agora tem dois jeitos de fazermos isso. Para uma matriz ortogonal A vale que A - 1 = A T e as colunas de linhas de A formam um conjunto ortonormal. Vamos fazer dos dois jeitos e você vê qual gosta mais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Definindo A = T α α

Se A for ortogonal, então A - 1 = A T e temos que:

A ∙ A T = A ∙ A - 1 = I

1 3 2 - 2 1 2 1 - 2 1 2 2 ∙ 1 3 2 2 1 - 2 1 2 1 - 2 2 = 1 9 9 0 0 0 9 0 0 0 9 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Como A ∙ A T deu a matriz identidade, temos que A T = A - 1 e portanto A é ortogonal, o que implica em T ser ortogonal.

Passo 3

Da outra forma agora, temos que os vetores coluna de A são:

2 3 , 2 3 , 1 3 , - 2 3 , 1 3 , 2 3 , 1 3 , - 2 3 , 2 3

De olho dá pra ver que os vetores são normais. Falta saber se são ortogonais também:

2 3 , 2 3 , 1 3 , - 2 3 , 1 3 , 2 3 = - 4 9 + 2 9 + 2 9 = 0

- 2 3 , 1 3 , 2 3 , 1 3 , - 2 3 , 2 3 = - 2 9 - 2 9 + 4 9 = 0

1 3 , - 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3 , 1 3 = 2 9 - 4 9 + 2 9 = 0

As colunas de A formam um conjunto ortonormal, portanto A é ortogonal, o que implica em T ser ortogonal.

Resposta

Sim

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