Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

A3 T18 A2 T22

b Em R 3 , considere o produto interno usual. Seja α a base canônica de R 3 e T : R 3 → R 3 o operador linear dado por

T α α = 3 5 0 - 4 5 0 1 0 4 5 0 3 5

Justifique porque o operador T é ortogonal.

c Tomando o operador T em b como uma rotação em R 3 , determine a direção do seu eixo.

Passo 1

b A base canônica de R 3 é uma base ortonormal com o produto interno usual. Logo, se a representação de T nessa base for uma matriz ortogonal, temos que T é um operador ortogonal.

E, de fato, a matriz T α α é ortogonal, já que suas colunas formam um conjunto ortonormal como podemos ver abaixo:

3 5 , 0 , 4 5 , 0,1 , 0 = 0

0,1 , 0 , - 4 5 , 0 , 3 5 = 0

- 4 5 , 0 , 3 5 , 3 5 , 0 , 4 5 = - 12 25 + 12 25 = 0

3 5 , 0 , 4 5 , 3 5 , 0 , 4 5 = 9 25 + 16 25 = 1

0,1 , 0 , 0,1 , 0 = 1

- 4 5 , 0 , 3 5 , - 4 5 , 0 , 3 5 = 16 25 + 9 25 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

c Se tormarmos o operador T como uma rotação em R 3 , veremos que ele representa uma matriz de rotação em torno do eixo y :

R y ' = cos ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ 0 1 0 sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

Mais que isso, sabemos que ela gira um vetor em torno de y de θ = cos - 1 ⁡ 3 5 .

Resposta

c Rotação em torno do eixo y .

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