Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

  1. W = ( x 1 , … , x n ) ∈ R n : x 1 + … + x n = 1     é subespaço vetorial de R n .
  2. Seja V um espaço vetorial com produto interno . , . e T : V → V um operador ortogonal tal que T ² = I , então T   é auto-adjunto.

DICA: Lembre que se T é ortogonal   T conserva o produto interno. E considere os vetores u e T v .

Passo 1

Simbora!

Se   W é um subespaço vetorial, então teremos que se um vetor u   ∈ W , então 2 u   ∈ W .

Essa sacada é providencial para resolvermos a questão! Sabe por quê?

Vamos escolher u = ( 1,0 , … , 0 ) ∈ W , u satisfaz a nossa condição, pois:

1 + 0 + … + 0 = 1

Por outro lado 2 u = ( 1,0 , … , 0 ) satisfaz que 2 + 0 + … + 0 = 2

2 ≠ 1

Portanto   2 u ∉ W , e por consequência, W   não é subespaço vetorial

FALSO!!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora ao item b)

PRIMEIRA COISA: T só será auto-adjunta se e somente se acontecer o seguinte:

u , T v = T u , v

Vamos a ideia de que T u , T v = u , v , então podemos escrever:

u , T v = T u , T T v = T u , T ² v

Ora ora, lá no enunciado dizia que   T ² = I , portanto:

T u , T ² v = T u , v

VERDADEIRO!!!

Resposta

a) FALSO

b) VERDADEIRO

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