Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

UFPE, PF-2019.2

Considere a transformação linear T : R 3 → R 3   dada por

T x ,   y ,   z = 1 3 2 x + y - 2 z ,   x + 2 y + 2 z ,   - 2 x + 2 y - z

  1. T é auto-adjunto? Justifique.
  2. T é ortogonal? Justifique.

Passo 1

Show de bolinhas meus amores, primeiro de tudo vamos escrever essa transformação, na forma de uma matriz. Saca só, temos que:

T x ,   y ,   z = 1 3 2 x + y - 2 z ,   x + 2 y + 2 z ,   - 2 x + 2 y - z

Ou seja, podemos reescrever como:

T x y z = 1 3 ( 2 x + y - 2 z ) ( x + 2 y + 2 z ) ( - 2 x + 2 y - z )

Logo, nossa matriz T na base canônica pode escrita como:

T = 1 3 2 1 - 2 1 2 2 - 2 2 - 1

T = 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 - 2 / 3 2 / 3 - 1 / 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Iradoso, então agora na letra (a), a gente quer saber se essa matriz T representa um operador auto-adjunto, ou seja uma transformação tal que:

T x ,   y = x ,   T y

MAAASSS, como a gente é sagaz desde menor, não vamos precisar provar essa coisa feia, porque uma das propriedades de operadores auto-adjuntos é que toda matriz simétrica é uma matriz auto-adjunta. E se a gente olhar com muito carinho pra nossa matriz T :

T = 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 - 2 / 3 2 / 3 - 1 / 3

Vemos que ela é uma matriz simétrica. Portanto T é auto-adjunto.

Passo 3

Belezera galerinha, agora na letra (b) queremos saber se T é uma matriz ortogonal. E pra ser uma matriz ortogonal as colunas distintas devem ser ortogonais entre si, e além disso, o módulo de cada coluna deve ser igual a 1 , ou seja, precisamos de colunas ortonormais para que nossa matriz seja ortogonal.

Xuxu beleza, sabendo disso, vamos testar a primeira propriedade sobre a ortogonalidade entre as colunas. Para que as colunas sejam ortogonais, o produto interno entre elas deve ser nulo. Então para as duas primeiras colunas temos que:

2 3 , 1 3 ,   - 2 3 ,   1 3 , 2 3 , 2 3 = 2 3 + 2 3 - 4 3 = 0  

Logo, as duas primeiras são ortogonais entre si. E testanto para as outras combinações entre colunas, temos que:

2 3 , 1 3 ,   - 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 , - 1 3 = - 4 3 + 2 3 + 2 3 = 0

- 2 3 , 2 3 , - 1 3 ,   1 3 , 2 3 , 2 3 = - 2 3 + 4 3 - 2 3 = 0

Portanto as colunas da matriz T são ortogonais entre si. Então agora bora ver o módulo dessas colunas.

Passo 4

Pra calcular o módulo de um vetor v = a ,   b ,   c qualquer, fazemos:

v = v ,   v

a ,   b ,   c = a ,   b ,   c ,   a ,   b ,   c

Então para o produto interno usual, temos que:

a ,   b ,   c = a 2 + b 2 + c 2

Iradoso, agora que já sabemos os segredos mais íntimos da álgebra, vamos calcular o módulo das colunas de T , para a primeira, temos:

2 3 , 1 3 ,   - 2 3 = 2 3 2 + 1 3 2 + - 2 3 2 2

2 3 , 1 3 ,   - 2 3 = 4 9 + 1 9 + 4 9 = 9 9

2 3 , 1 3 ,   - 2 3 = 1

Beleuza, para segunda coluna, teremos:

1 3 , 2 3 , 2 3 = 1 3 2 + 2 3 2 + 2 3 2 2

1 3 , 2 3 , 2 3 = 1 9 + 4 9 + 4 9 = 9 9

1 3 , 2 3 , 2 3 = 1

E por fim para a terceira coluna, obtemos:

- 2 3 , 2 3 , - 1 3 = - 2 3 2 + 2 3 2 + - 1 3 2 2

- 2 3 , 2 3 , - 1 3 = 4 9 + 4 9 + 1 9 = 9 9

- 2 3 , 2 3 , - 1 3 = 1

Portanto além das colunas serem ortogonais entre si, elas também possuem o módulo igual a 1 , fazendo com que as colunas sejam ortonormais, e em consequência disso, podemos chamar nossa matriz T , de uma matriz ortogonal.

Resposta

  1. Sim, demonstração .
  2. Sim, demonstração .

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