Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

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Enunciado

Verifique se as funções abaixo são operadores lineares ou não:

a) T a ,   b = ( - b ,   a - b )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função T a ,   b = ( - b ,   a - b ) e pediu pra gente verificar se ela é um operador linear. Para que esse seja um operador linear, ele precisa satisfazer as duas condições de uma transformação linear. Mas quais condições são essas?

Vamos relembrá-las:

Dizemos que algo é linear se ele satisfaz as seguintes propriedades:

T a + b = T a + T ( b )

T λ a = λ T a ,     ∀   λ ∈ R

Então, o que nós vamos fazer é aplicar a função que ele nos deu nessas duas propriedades e ver se os resultados são satisfeitos.

Vamos lá!

Passo 2

Verificando a primeira propriedade, vamos assumir que:

T a 1 ,   b 1 + T a 2 ,   b 2 = T ( a 1 + a 2 ,   b 1 + b 2 )

Agora vamos pegar só o lado esquerdo da igualdade e aplicar a transformação T a ,   b = ( - b ,   a - b ) :

T a 1 ,   b 1 + T a 2 ,   b 2

- b 1 ,   a 1 - b 1 + ( - b 2 , a 2 - b 2 )

Somando cada componente:

( - b 1 - b 2 ,   a 1 - b 1 + a 2 - b 2 )

Beleza, agora vamos pegar o lado direito da igualdade lá de cima:

T ( a 1 + a 2 ,   b 1 + b 2 )

Aplicando a transformação:

( - b 1 - b 2 ,   a 1 - b 1 + a 2 - b 2 )

Opa! Os resultados são iguais. Logo, podemos dizer que a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 3

Agora vamos testar a segunda propriedade T λ a = λ T a . Assumindo que:

T λ a ,   λ b = λ T ( a ,   b )

Agora vamos pegar apenas o lado esquerdo da equação e aplicar a função transformação:

T λ a ,   λ b

( - λ b ,   λ a - b )

Verificando o lado direito:

λ T a ,   b

λ ( - b ,   a - b )

( - λ b ,   λ a - b )

E chegamos a resultados iguais novamente. Logo, a segunda propriedade também é satisfeita e podemos dizer que a função T a ,   b = ( - b ,   a - b ) é um operador linear.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

É   u m   o p e r a d o r   l i n e a r

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