Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2017.1, Questão 4

Em R 2 , considere o produto interno   < a , b , c , d >   = 2 a c + 2 b d .   Seja T : R 2 R 2 o operador linear dado abaixo. Escreva uma das maneiras de verificar que um operador linear é ortogonal, e em seguida, utilizando essa maneira, diga se esse T é um operador ortogonal.

T x , y = 1 2 x + 2 y , - x + 2 y .

Passo 1

Ok, vamos lá, primeiramente o que é um operador ortogonal? É aquele que a matriz que o representa em uma base ortonormal do R 2 (no caso a base canônica) é ortogonal.

Beleza, mas o que é isso de matriz ortogonal? É aquela que os vetores colunas (ou vetores linhas) formam um conjunto ortonormal.

Então, para resolver a questão é só eu achar a matriz dessa operação e verificar se as colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal de acordo com o produto interno dado!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A matriz de T na base canônica é:

[ T ] ϵ = 1 2 2 2 - 1 2 2 2

Se essa matriz é ortogonal então 1 2 , - 1 2 , 2 2 , 2 2 é um conjunto ortonormal. Ou seja:

1 2 , - 1 2 , 2 2 , 2 2 = 0

1 2 , - 1 2 , 1 2 , - 1 2 = 1

2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 = 1

Passo 3

Vamos então utilizar o produto interno que o enunciado nos deu para conferir isso aí:

< a , b , c , d >   = 2 a c + 2 b d

1 2 , - 1 2 , 2 2 , 2 2 = 2 1 2 2 2 + 2 - 1 2 2 2 = 0

1 2 , - 1 2 , 1 2 , - 1 2 = 2 1 2 1 2 + 2 - 1 2 - 1 2 = 1

2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 = 2 2 2 2 2 + 2 2 2 2 2 = 2

Opa! O último produto interno não deu o resultado esperado!! Isso quer dizer que nossas colunas não formam um conjunto ortonormal, por isso nossa matriz não é ortogonal e nosso operador T , consequentemente também não é.

OBS: O nosso conjunto de vetores colunas é ortogonal pois o produto interno entre eles deu zero, mas não é ortonormal pois a norma de um deles não é igual a 1.

Resposta

T não é um operador ortogonal.

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