Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2018.2, Questão 4ab

Seja V = R 3 um espaço vetorial munido com produto interno usual. Considere os vetores v 1 = 1,0 , - 1 ,   v 2 = 0,1 , 0   e   v 3 = 1,0 , 1 de R 3 e T : V V um operador linear tal que T v 1 = v 2 ,   T v 2 = - v 1 e T v 3 = v 3 .

(a) Verifique se T é auto-adjunto.

(b) Verifique se T é ortogonal.

Passo 1

Vamos começar definindo o que é um operador auto-adjunto e um operador ortogonal.

Um operador T é autoadjunto se e só se a matriz que representa T for simétrica.

Ou seja, se A é a matriz que representa T, então T é adjunto se e somente se:

A = A T

Já um operador T é ortogonal se e só se a matriz A que representa T satisfizer:

A A T = I

Onde I é a matriz identidade.

Vamos verificar isso para o operador dado, mas antes precisamos achar a matriz que representa essa transformação T.

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Passo 2

Temos que:

α = 1 2 1,0 , - 1 ,   0,1 , 0 , 1 2 1,0 , 1

É uma base ortonormal de V.

Vamos escrever a matriz T α α , a matriz que representa T na base α .

Pra isso, aplicamos a transformação aos vetores da base e escrevemos os resultados em termos de coordenadas da base α nas colunas de uma matriz.

Fazendo isso:

T 1 2 1,0 , - 1 = 1 2 T 1,0 , - 1 = 1 2 0,1 , 0

T 0,1 , 0 = - 1,0 , - 1 = - 2 1 2 ( 1,0 , 1 )

T 1 2 1,0 , 1 = 1 2 T 1,0 , 1 = 1 2 ( 1,0 , 1 )

Então:

Passo 3

(a) A transposta dessa matriz é:

Como:

T α α T α α T

O operador não é auto-adjunto.

Passo 4

(b) Vamos fazer o produto T α α × T α α T para verificar se T é ortogonal.

Como essa matriz não é a identidade, T não é ortogonal.

Resposta

(a) Não é auto-adjunto

(b) Não é ortogonal

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