Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2016.1, Questão 2a

Seja V = R 2 , com produto interno a , b , c , d = a c + 9 b d . Determine se T : R 2 R 2 , o operador linear cuja matriz na base canônica, α , é:

T α α = - 1 1 1 1

é um operador auto adjunto.

Passo 1

Para um operador ser auto adjunto, precisamos que, para quaisquer vetores u e v , tenhamos:

T u , v = u , T v

Logo:

T u 1 , u 2 , v 1 , v 2 = u 1 , u 2 , T v 1 , v 2

Aonde:

T u 1 , u 2 = - 1 1 1 1 u 1 u 2 = - u 1 + u 2 u 1 + u 2 = - u 1 + u 2 , u 1 + u 2

E anolagamente:

T v 1 , v 2 = - v 1 + v 2 , v 1 + v 2

Substituindo na igualdade:

- u 1 + u 2 , u 1 + u 2 , v 1 , v 2 = u 1 , u 2 , - v 1 + v 2 , v 1 + v 2

- v 1 u 1 + v 1 u 2 + 9 v 2 u 1 + 9 v 2 u 2 = - v 1 u 1 + v 2 u 1 + 9 v 1 u 2 + 9 v 2 u 2

8 v 2 u 1 - 8 v 1 u 2 = 0

Como o resultado que obtivemos não vale para todo vetor u e v , temos que o operador não é auto adjunto.

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Resposta

Não é auto adjunto.

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