Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2017.2, Questão 1

Sejam u ,   v   R 4 tais que a projeção ortogonal de u na direção de v   é igual a ( 1 ,   1 ,   2 ,   2 ) . O vetor u pode ser qualquer um dos abaixo, COM EXCEÇÃO DE:

(a) ( 3 ,   1 ,   2 ,   1 )

(b) ( 4 ,   2 ,   1 ,   1 )

(c) ( 3 ,   2 ,   1 ,   1 )

(d) ( 3 ,   1 ,   1 ,   2 )

Passo 1

O que acontece aí é isso:

Conseguimos ver que a projeção e esse vetor entre o u e a projeção formam um ângulo reto entre si.

Reparem que esse vetor é simplesmente P v u - u . Então:

P v u - u , P v u = 0

Queremos saber qual desses vetores das opções pode ser o vetor u sendo que sabemos que a projeção é   P v u = ( 1 ,   1 ,   2 ,   2 ) . Vamos testar para cada um esse produto interno nulo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)   u = ( 3,1 , 2,1 )

P v u - u = 1,1 , 2,2 - 3,1 , 2,1 = ( - 2,0 , 0,1 )

Vamos ver se o produto interno de fato vale zero.

P v u - u , P v u = - 2,0 , 0,1 , ( 1,1 , 2,2 ) = - 2 + 2 = 0

Sim, logo, essa não é a exceção!

b)   u = ( 4,2 , 1,1 )

P v u - u = 1,1 , 2,2 - 4,2 , 1,1 = ( - 3 , - 1,1 , 1 )

Vamos ver se o produto interno também vale zero.

P v u - u , P v u = ( - 3 , - 1,1 , 1 ) , ( 1,1 , 2,2 ) = - 3 - 1 + 2 + 2 = 0

Sim, logo, essa também não é a exceção!

c)   u = ( 3,2 , 1,1 )

P v u - u = 1,1 , 2,2 - 3,2 , 1,1 = ( - 2 , - 1,1 , 1 )

Vamos ver se o produto interno também vale zero.

P v u - u , P v u = ( - 2 , - 1,1 , 1 ) , ( 1,1 , 2,2 ) = - 2 - 1 + 2 + 2 = 1

Diferente de 0 ! Então essa era a exceção que estávamos buscando!

Resposta

Letra c

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