Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que o gráfico de

f x = e - x + 3 x 2

Fica horizontal em algum ponto do intervalo ( 0,1 ) . Ponto horizontal do gráfico significa que a reta tangente é horizontal naquele ponto.

Passo 1

Pelo que o enunciado disse, o ponto horizontal é onde temos f ' x = 0 . Resumindo a história, queremos garantir que há pelo menos uma raiz para f ' ( x ) no intervalo ( 0,1 ) . Se mostrarmos que f ' ( x ) muda de sinal nesse intervalo pelo menos uma vez nós concluiremos, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe ao menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Começamos derivando f ( x ) :

f ' x = - e - x + 6 x

Vamos analisar o sinal de f ' ( 0 ) e de f ' ( 1 ) :

f ' 0 = - e 0 + 6 0 = - 1

f ' 1 = - e - 1 + 6 1 = 6 - 1 e

Analisando o f ' ( 1 ) , temos que e > 1 , o que faz com que 1 e < 1 e assim 6 - 1 e > 0 . A conclusão é a seguinte:

f ' 1 > 0 > f ' ( 0 )

Assim, concluímos que f ' ( x ) muda de sinal em ( 0,1 ) e, pelo TVI, têm um ponto horizontal nesse mesmo intervalo.

Resposta

f ' ( x ) muda de sinal em ( 0,1 ) e, pelo TVI, têm um ponto horizontal nesse mesmo intervalo.