Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

Ver Teoria

Enunciado

Verifique se as funções definidas a seguir são monótonas em todo o seu domínio. Em caso afirmativo, mostre matematicamente de qual tipo ela é (crescente, decrescente, não-crescente ou não decrescente). Em caso negativo, justifique o porquê dela não o ser. Represente, em cada caso, o gráfico da função no plano cartesiano.

( d )   l : ℤ → ℝ tal que

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar em cada alternativa desta questão se a nossa função é monótona (ou não), e tendo esta informação determinar se a função é crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente. Mas o que são estas coisas?

Uma função monótona pode ser resumida como uma função que é sem não-crescente (não-decrescente), ou seja, sua derivada nunca muda de sinal para diferentes valores de x no domínio. A função nesta alternativa é

Ao longo dos passos iremos revisar o que define a função como crescente (decrescente) e assim por diante! Vamos lá!

Passo 2

Mesmo definida em intervalos, nossa função é contínua (você pode verificar fazendo os limites laterais em x = - 2 e x = 2 ). Temos dois intervalos em que a função é constante, isso já elimina que ela seja crescente ou decrescente, pois existem momentos em que nenhum dos dois acontece! Mas ela ainda pode ser não-decrescente ou não-crescente! Vamos verificar o intervalo intermediário, beleza?

Para valores de x negativos, como o domínio são os inteiros, temos apenas x = - 1 , a função vale f ( - 1 ) = 2 , para x positivos, temos apenas x = 1 , em que a função vale f ( 1 ) = 1 / 4 . O único valor do domínio entre esses valores é x = 0 , e a função vale f ( - 1 ) < f ( 0 ) = 1 < f ( 1 ) . Ou seja, a função é monotônica e não-crescente!

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A função é monotônica e não-crescente!