Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Verifique se as funções definidas a seguir são monótonas em todo o seu domínio. Em caso afirmativo, mostre matematicamente de qual tipo ela é (crescente, decrescente, não-crescente ou não decrescente). Em caso negativo, justifique o porquê dela não o ser. Represente, em cada caso, o gráfico da função no plano cartesiano.

( a )   f : ℝ → ℝ tal que f ( x ) = 4 x - 1 3 .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar em cada alternativa desta questão se a nossa função é monótona (ou não), e tendo esta informação determinar se a função é crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente. Mas o que são estas coisas?

Uma função monótona pode ser resumida como uma função que é sem não-crescente (não-decrescente), ou seja, sua derivada nunca muda de sinal para diferentes valores de x no domínio. A função nesta alternativa é

f ( x ) = 4 x - 1 3

Ao longo dos passos iremos revisar o que define a função como crescente (decrescente) e assim por diante! Vamos lá!

Passo 2

A nossa função é uma função de primeira ordem, portanto podemos escrevê-la no seguinte formato

f ( x ) = a x + b

ela será crescente (decrescente) se a > 0 ( a < 0 ). Escrevendo neste formato

f ( x ) = 4 3 x - 1 3

como temos que a = 4 / 3 > 0 . A função é crescente, e como é uma função de primeira ordem ela é uma função monotônica! A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

A função é monotônica e crescente!