Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Prove que a equação x 3 - 3 x 2 + 6 = 0 admite uma única raiz real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrar quea equação x 3 - 3 x 2 + 6 = 0 admite uma única raiz real.

Além disso a questão também nos pede para determinar um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

Uma dica é derivarmos f ( x ) e igualar a zero a fim de analisar o seu sinal.

Depois, temos que analisar a função de acordo com o Teorema do Valor Intermediário.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... primeiramente, derivando f ( x ) , temos:

f ' x = 3 x 2 - 6 x

Igualando a zero, temos:

3 x 2 - 6 x = 0 ∴

3 x x - 2 = 0 ∴

x = 0

x = 2

Para x = 0 podemos perceber que x assume valores negativos quando x < 0 e positivos quando x > 0 .

Por outro lado, para x = 2 , podemos perceber que x assume valores negativos quando x < 2 e positivos quando x > 2 .

Passo 3

Para x = 0 podemos perceber que x assume valores negativos quando x < 0 e positivos quando x > 0 .

Por outro lado, para x = 2 , podemos perceber que x assume valores negativos quando x < 2 e positivos quando x > 2 .

Passo 4

Lembrando que o Teorema do Valor Médio diz que “se f é uma função contínua em [ a , b ] e derivável em ] a , b [ então existe c pertencente a ] a , b [ tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto ( c , f ( c ) ) é paralela à reta que passa por ( a , f ( a ) ) e ( b , f ( b ) ) ”.

Dessa forma, temos então que:

f - 1 = 2

f - 2 = - 14

Dessa forma, existe uma raiz no intervalo - 2 , - 1 .

Passo 5

As raízes de f ' ( x ) são x = 0 e x = 2 .

Assim, vamos achar f ' ' x desses dois pontos:

f ' ' x = 6 x - 6 ∴

f ' ' 0 = - 6

Que é um máximo local e f ' ' 2 = 6 um mínimo local.

Assim, a função é negativa em ] ∞ , 0 ] e cruza o eixo x em x 0 , passando por um máximo positivo em x = 0 , e passa por um mínimo positivo em x = 2 e continua positiva no intervalo [ 2 , + ∞ [ .

Como cruza o eixo x apenas uma vez, tem somente uma raiz real.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto