Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação

3 x - 2 = 5 - 2 x - x 3

Possui pelo menos uma solução real.

Passo 1

Parece doida essa igualdade mas nota o seguinte, se a gente passar um dos lados da igualdade pro outro, fica mais fácil de provar a mesma. Saca só:

3 x - 2 = 5 - 2 x - x 3

5 - 2 x - x 3 - 3 x - 2 = 0

Estabelecendo f x = 5 - 2 x - x 3 - 3 x - 2 , ficamos com:

f x = 0

Opa, então na prática, pra gente provar que a equação tem pelo menos uma solução real, basta a gente provar que f x tem pelo menos uma raiz real!

Passo 2

Como raízes de funções são pontos, ou seja, valores de x que zeram a função, segundo o teorema do valor intermediário (TVI), para c ∈ a , b , f c = 0 será verdade se:

f a < 0 f b > 0               o u               f a > 0 f b < 0

Ou seja, basta a gente escolher algum valor de a , b que façam f a , f b terem sinais diferentes. Não tem jeito, vamos ter que chutar. Pra não chutarmos valores gigantes, vamos escolher números mais condizentes como por exemplo x = 1 :

f x = 5 - 2 x - x 3 - 3 x - 2

f 1 = 5 - 2 - 1 - 3 - 2

f 1 = 2 - 1 = 2 - 1 = 1

Ok, achamos um valor positivo. Será que se eu pegar um x = 2 continuo achando positivo? Vamos ver:

f x = 5 - 2 x - x 3 - 3 x - 2

f 2 = 5 - 4 - 8 - 6 - 2

f 2 = - 7 - 4 = - 7 - 2 = - 9

Opa! Terminamos! Se f 1 > 0 e f 2 < 0 , pelo TVI, vai existir pelo menos um c ∈ 1,2 tal que f c = 0 . Se f x , definida como f x = 5 - 2 x - x 3 - 3 x - 2 , possuir pelo menos uma raiz real, logo possuirá a equação original 3 x - 2 = 5 - 2 x - x 3 pelo menos uma solução real.

Resposta

Se f 1 > 0 e f 2 < 0 , pelo TVI, vai existir pelo menos um c ∈ 1,2 tal que f c = 0 . Se f x , definida como f x = 5 - 2 x - x 3 - 3 x - 2 , possuir pelo menos uma raiz real, logo possuirá a equação original 3 x - 2 = 5 - 2 x - x 3 pelo menos uma solução real.