Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Verifique se as funções definidas a seguir são monótonas em todo o seu domínio. Em caso afirmativo, mostre matematicamente de qual tipo ela é (crescente, decrescente, não-crescente ou não decrescente). Em caso negativo, justifique o porquê dela não o ser. Represente, em cada caso, o gráfico da função no plano cartesiano.

( c )   h : ℝ → ℝ tal que

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar em cada alternativa desta questão se a nossa função é monótona (ou não), e tendo esta informação determinar se a função é crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente. Mas o que são estas coisas?

Uma função monótona pode ser resumida como uma função que é sem não-crescente (não-decrescente), ou seja, sua derivada nunca muda de sinal para diferentes valores de x no domínio. A função nesta alternativa é

Ao longo dos passos iremos revisar o que define a função como crescente (decrescente) e assim por diante! Vamos lá!

Passo 2

Aqui a nossa função tem uma descontinuidade de salto, isso não é um problema para a definição de função monotônica, essa descontinuidade acontece em x = 1 , de onde a função vai de f = - 2 para f = 2 x . Como temos que x > 1 > 0 , então os valores de f só aumentam para diferentes valores de x , portanto, a função é monotônica e crescente!

Resposta

A função monotônica e crescente!