Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Mostre que a equação x 3 - 15 x + 7 = 0 tem exatamente uma raiz no intervalo [ - 2 ,   2 ] .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrar que a equação x 3 - 15 x + 7 = 0 tem exatamente uma raiz no intervalo [ - 2 ,   2 ] .

Uma dica é fazermos x = - 2 e x = 2 a fim de analisarmos o comportamento da função.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, fazendo x = - 2 :

f - 2 = - 2 3 - 15 * - 2 + 7 ∴

f - 2 = 29

E, fazendo x = 2 , temos:

f 2 = 2 3 - 15 * 2 + 7 ∴

f - 2 = - 15

Passo 3

Considerando que a função muda de sinal ao passar do extremo inferior para o extremo superior temos que, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo - 2,2 , há um valor tal que f c = 0 .

Em seguida, verificaremos se há mais de uma raiz real.

Segundo o Teorema de Rolle, deve existir um valor c tal que f ' c = 0 caso houverem mais de uma raiz real.

No entanto, temos que f ' x = 3 x 2 - 15 , que em - 2,2 é sempre negativo.

Logo, por contradição, como não há c em - 2,2 tal que f ' c = 0 , há apenas uma raiz real.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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