Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Mostre que os gráficos das funções f x = ln ⁡ x e g x = 3 - 2 x se cruzam em algum ponto no intervalo 1,2 . Sugestão: Utilize o Teorema do Valor Intermediário

Passo 1

Fala povo bonito, tudo certo? Olha só, vamos lá. Quando duas funções se cruzam elas geram um ponto em comum, certo? Mesmo x e mesmo y ! Então é bem seguro de afirmar que:

f x = g x

Em algum ponto. Ok, mas como isso ajuda a gente? Olha só a doidera, se eu fizer essa manipulação:

f x - g x = 0

h x = 0

Definido h x = f x - g x , o problema muda de cara! O enunciado poderia ser muito bem reescrito para:

E a gente agora vai partir exatamente desse enunciado reescrito, beleza?

Passo 2

A questão ainda é boazinha com a gente e nos dá uma dica. Pelo TVI, temos válido que:

Em grafiquês, é como se a gente tentasse ligar esses pontos:

Ou esses pontos:

De forma contínua, sem passar pelo eixo O x , o que não é possível! Como não dá pra fazer isso, garantimos a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Ok, sem mais delongas, vamos ver a nossa questão em específico, onde:

h x = f x - g x = ln ⁡ x - 3 - 2 x = 0

No intervalo 1,2 que o enunciado dá, temos o seguinte valor pra essa função:

h 1 = ln ⁡ 1 - 3 - 2 ∙ 1 = - 1 < 0

h 2 = ln ⁡ 2 - 3 - 2 ∙ 2 = ln ⁡ 2 + 1 > 0

Opa, caímos então nesse caso:

E pelo Teorema do Valor Intermediário, tá prova então que h x tem raiz em 1,2 , o que, por extensão, prova que f x = g x em algum lugar dentro do intervalo 1,2

Resposta

Desenvolvimento acima