Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

Ver Teoria

Enunciado

Determine c   ∈ R de modo que a equação x 3 + 3 x 2 - 9 x + c = 0 admita uma única raiz real.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar c   ∈ R de modo que a equação x 3 + 3 x 2 - 9 x + c = 0 admita uma única raiz real.

Para podermos resolver isso, temos que derivar a função e igualar a zero para podermos analisar o seu sinal e depois aplicar o Teorema do Valor Intermediário para verificarmos a raiz.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... Derivando a função e igualando a zero, temos:

3 x 2 + 6 x - 9 = 0 ∴

x = 1

x = - 3

Analisando os sinais das duas expressões, temos:

f 1 = 1 3 + 3 1 2 - 9 1 + c ∴

f 1 = - 5 + a

Também, temos:

f - 3 = - 3 3 + 3 - 3 2 - 9 - 3 + c ∴

f - 3 = 27 + a

Passo 3

Pelo Teorema do Valor intermediário, temos que se f é contínua sobre o intervalo fechado a , b e L é um número real tal que f a < L < f ( b ) ou f b < L < f ( a ) então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que f c = L .

Dessa forma, temos:

- 5 + a > 0 → a > 5

E

27 + a < 0 → a < - 27

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a > 5   o u   a < - 27