Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 285-17. MODIFICADO

Mostre que a função abaixo tem exatamente uma raiz no intervalo dado.

g t = t + 1 + t - 4 , ( 0 , )

Passo 1

Na fronteira esquerda do intervalo:

g 0 = 0 + 1 + 0 - 4 = - 3

Que é negativo.

A fronteira à direita é , então aplicamos limite para testar o sinal por lá:

lim t t + 1 + t - 4 = + - 4 =

Que é positivo.

Como temos um valor negativo na fronteira esquerda do intervalo e outro positivo na fronteira direita, então, pelo TVI, existe uma raiz para x ( 0 , ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Agora, para esta ser a única raiz, precisamos mostra que a função é monótona. Para isso, derivamos:

g ' t = 1 2 t + 1 2 t + 1

Como a raiz quadrada é sempre um número positivo, temos a soma de números positivos. Portanto, g ' ( t ) é sempre maior que zero o que garante que a solução é única.

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