Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

Ver Teoria

Enunciado

b) Determine o valor ou valores de c tal que f ' c = f b - f ( a ) b - a do Teorema do Valor Médio, onde f x = 4 + x - 1 no intervalo [ 1 ,   5 ] .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função f x = 4 + x - 1 e um intervalo [ 1 ,   5 ] e pediu pra gente determinar um ou mais valores de c dentro desse intervalo.

O Teorema do Valor Médio nos diz que se f é uma função contínua no intervalo [ a ,   b ] e derivável em ( a ,   b ) , então existe um número c em ( a ,   b ) tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Ou, de maneira equivalente,

f b - f a = f ' c ( b - a )

Vamos então conferir as condições do teorema para a nossa função f ( x ) e calcular o valor de c usando a fórmula.

Vamos lá!

Passo 2

Como f x = 4 + x - 1 é uma função polinomial, então ela é contínua e derivável para todo x , logo, ela é contínua em [ 1 ,   5 ] e derivável em ( 1 ,   5 ) .

Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe um número c em ( 1 ,   5 ) tal que:

f 5 - f 1 = f ' c ( 5 - 1 )

Calculando f ( 5 ) e f ( 1 ) , temos:

f 5 = 4 + 5 - 1 = 6

f 1 = 4 + 1 - 1 = 4

Calculando também a derivada da função:

f ' x = 1 2 x - 1

Então, f ' c = 1 2 c - 1 .

Substituindo tudo na equação do Teorema:

6 - 4 = 1 2 c - 1 ( 4 )

Logo,

2 = 4 2 c - 1

2 2 c - 1 = 4

c - 1 = 1

Elevando os dois lados ao quadrado:

c - 1 = 1

c = 2

E c está em [ 1 ,   5 ] , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = 2