Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

9 . A equação 222 x 21 + 21 x + 2222 = 0

A : tem exatamente uma raiz real positiva, mas não tem uma raiz real negativa.

B : tem pelo menos três raízes reais.

C : não tem raízes reais.

D : tem exatamente duas raízes reais.

E : tem exatamente uma raiz real negativa, mas não tem uma raiz real positiva.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para termos alguma ideia das raízes dessa equação vamos usar o teorema do valor intermediário ao nosso favor, ele diz o seguinte:

Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [ a ,   b ] e seja N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , em que f a ≠ f ( b ) . Então existe um número c em ( a , b ) tal que f c = N .

O que a gente pode tirar desse teorema é que se tivermos um f a < 0 e um f b > 0 , logo teremos um f c = 0 .

Então temos que ver se a nossa função f ( x ) tem valores negativos e positivos que aí ela terá pelo menos uma raiz.

Passo 2

A nossa função é um polinômio, então ela é contínua em todo o espaço.

Se avaliarmos nossa função por exemplo em x = - 2 vemos que ela nos dá um valor negativo e para todo x < - 2 temos também valores negativos e se avaliarmos em x = - 1 a função nos dá um valor positivo e para todo x > - 1 temos também valores positivos.

Então a função só é igual a zero uma única vez entre x = - 2 e x = - 1 , logo essa função só tem uma única raiz real que é negativa.

Então a alternativa correta é a letra E .

Resposta

E : tem exatamente uma raiz real negativa, mas não tem uma raiz real positiva.