Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

( b ) Seja g x = e 3 x + 8 x - sen ⁡ ( π x ) . Mostre que g tem exatamente uma raiz real e localize-a entre dois inteiros consecutivos.

Passo 1

Podemos começar essa questão usando o TVI para provar a existência de ao menos uma raiz. Como a função não chama atenção para nenhum intervalo ou valor de x o melhor é utilizar valores como inteiros próximos a 0 . Vou escolher os valores x = - 1 e x = 0 :

g - 1 = e - 3 - 8 - sen ⁡ - π

= e - 3 - 8

Como 8 > e e e - 3 < e vemos que o termo e - 3 - 8 é negativo.

g 0 = e 0 + 8 0 - sen ⁡ π 0

= 1

g ( 0 ) é positivo.

Como a função muda de sinal no intervalo [ - 1 ,   0 ] e é contínua, vemos que ela terá, no mínimo, uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Agora, falta provar que não temos exatamente uma raiz. Para isso podemos analisar sua derivada, da seguinte maneira:

g ' x = 3 e 3 x + 8 - π cos ⁡ ( π x )

Ora, sabemos que o cosseno tem valor máximo em 1 e mínimo em - 1 . Vemos que o termo - π cos ⁡ ( π x ) vai variar entre – π e π . Sendo assim, como 8 é maior que π e 3 e 3 x é sempre positivo, vemos que 3 e 3 x + 8 - π cos ⁡ ( π x ) será sempre positivo!

Tá, a derivada é sempre positiva, e o que isso significa para nós? Que a função g x vai ser sempre crescente! Olha, uma função que é sempre crescente pode cruzar o eixo x no máximo uma vez!

Se no primeiro passo nós vimos que g tinha pelo menos uma raiz e agora vimos que ela tem no máximo uma raiz garantimos que a única possibilidade dessas duas condições serem verdadeiras é se g tiver exatamente uma raiz!

Resposta

g x   t e m   e x a t a m e n t e   u m a   r a i z   n o   i n t e r v a l o   - 1,0