Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Verifique se as funções definidas a seguir são monótonas em todo o seu dom��nio. Em caso afirmativo, mostre matematicamente de qual tipo ela é (crescente, decrescente, não-crescente ou não decrescente). Em caso negativo, justifique o porquê dela não o ser. Represente, em cada caso, o gráfico da função no plano cartesiano.

( b )   g : ℝ + → ] - ∞ , 4 ] tal que g ( x ) = 4 - x 2 .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar em cada alternativa desta questão se a nossa função é monótona (ou não), e tendo esta informação determinar se a função é crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente. Mas o que são estas coisas?

Uma função monótona pode ser resumida como uma função que é sem não-crescente (não-decrescente), ou seja, sua derivada nunca muda de sinal para diferentes valores de x no domínio. A função nesta alternativa é

g ( x ) = 4 - x 2

Ao longo dos passos iremos revisar o que define a função como crescente (decrescente) e assim por diante! Vamos lá!

Passo 2

A nossa função é uma polinômio de segunda ordem, em geral eles não são monotônicos, mas precisamos analisar o domínio dado por

g : ℝ + → ] - ∞ , 4 ]

O nosso polinômio de segunda ordem não tem o termo linear, ou seja, em um formato geral

a x 2 + b x + c

temos que b = 0 , c = 4 e a = - 1 . Como temos que a < 0 , temos que a concavidade é para baixo! Ou seja, temos um máximo em x = 4 , dado por f ( 0 ) = 4 , após isso a função irá começar a decrescer até o valor f ( 4 ) = 0 . Realmente, a função tem um momento crescente e outro decrescente, portanto, não é monotônica! A alternativa é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A função é não-monotônica!