Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Seja C o conjunto das funções diferenciáveis f : R → R   tao que:

- 6 ≤ f ' x ≤ 5

Considere o subconjunto de definido por:

X = { f 5 - f - 7   /   f   ϵ   C }

Sejam m e M os elementos mínimo e máximo de X , respectivamente. O valor de 2M-7m é

a ) 564

b ) 636

c ) 624

d ) 600

e ) 660

Passo 1

Opa galera aqui é uma questão, que a uma primeira visão é totalmente abstrata e não da para tirar muita informação. Ou seja, normalmente a uma primeira visão estamos totalmente perdidos, né assim que pensamos?

MAS CAAAAAAAAAALMINHA, não precisa se preocupar vamos lembrar de analisar todas as informações da questão.

Em síntese o que a questão quer? Precisamos encontrar os valores de máximos e mínimos dessa função. Normalmente precisamos de uma expressão para derivar e achar os pontos críticos e olhando qaí não temos nada disso né?

Mas olha de novo, nos temos os valores das derivadas dentro de um intervalo. Então essa informação já possuímos.

Mas e o resto? Bem, temos apenas valores então nossa única saída é utilizar o teorema do valor médio e encontrar estimativas desses pontos de máximo e mínimos através dele. Então vamos lá?

Ahhhhhhhhh lembrando o teorema do valor médio corresponde a seguinte informação

f c = f b - f ( a ) b - a

Geometricamente a derivada é o coeficiente angular da reta tangente, o TVM nos informa que podemos calcular a derivada em um único ponto c através da secante da curva, graficamente estamos fazendo a seguinte operação:

Iae conseguiu enxergar que a reta tangente é paralela a secante nesse caso? Então vamos utilizar o teorema do valor médio para calcular em qual ponto é possível realizar isso nesse caso.

Agora podemos ir lá?

Passo 2

Para um primeiro momento vamos aplicar o teorema do valor médio nos nossos dados, com isso temos a seguinte igualdade

f 5 - f - 7 = f ' c * ( 5 - - 7 = f ' c * 12

Agora vamos analisar o que acontece com a variação da minha função nos extremos do meu domínio.

Primeiramente vamos admitir que f ' c = 5 ao fazer isso estamos analisando o limite superior, logo temos que:

f 5 - f - 7 ≤ 12 * 5

Logo como estamos no extremo superior temos que qualquer valor dentro da função deve ser menor do que ele, logo:

f 5 - f - 7 ≤ 60

Realizando a mesma análise para o limite inferior temos que:

f 5 - f - 7 ≥ 12 * - 6

Gerando a seguinte igualdade:

f 5 - f - 7 ≥   - 7 2

Logo temos os maiores e menores valores possíveis da função sendo assim:

m = - 7 2

M = 60

Ahhh e só para deixar mais claro o porque disso é valido é que uma função bem comportada ao longo de um domínio fechado existe um teorema que fala que existe pelo menos um máximo ou mínimo.

Passo 3

Resultando em

2 m - 7 M = 2 - 72 - 7 * 60 = - 564

Resposta

A Resposta final é a letra a