Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

2) Considere as funções f x = e sin ⁡ x e g x = 3 x . Prove que os gráficos de f x e g x se intersectam em um único ponto quando 0 ≤ x ≤ π 2 .

Passo 1

Uma boa forma de iniciar as questões é olharmos bem as funções:

f x = e sin ⁡ x

g x = 3 x

Beleza, temos então duas funções contínuas em I R e, logo, contínuas no intervalo 0 ≤ x ≤ π 2 do intervalo. Se as duas são contínuas, não vamos ter pegadinha pra nenhum valor de x . Agora, como a função quer saber quando:

f x = g x

Se estabelecermos uma nova função:

h x = f x - g x

Podemos entender esse enunciado como “prove que h x tem raíz única”, sendo h x :

h x = e sin ⁡ x - 3 x

Passo 2

Ok, vamos então pensar nas raízes de h x . Se essa função tiver uma raíz no intervalo mostrado, é porque o sinal de h a pode mudar dependendo do a escolhido, tal que:

a ∈ 0 , π 2

Vamos testar alguns números dentro desse intervalo então. Uma boa primeira tentativa são os próprios extremos. Sendo assim, para a = 0 , temos:

h 0 = e sin ⁡ 0 - 3.0 = e 0 - 0 = 1 > 0

E para a = π 2 :

h 0 = e sin ⁡ π 2 - 3 . π 2 ≅ e 1 - 1,5 ∙ 3,14 ≅ 2,72 - 4,71 = - 1,99 < 0

Opa , então vamos ter:

h 0 > 0

h π 2 < 0

Sendo que:

h 0 > h π 2

0 < π 2

Provamos que, de fato, nesse intervalo, pelo menos uma raiz h x vai ter

Passo 3

Agora, ainda não acabou. Precisamos provar que essa raíz é única. Do resultado:

h 0 > 0

h π 2 < 0

Sabemos que tem pelo menos uma raíz. Agora, saca só. Como:

0 < π 2

Se h x for estritamente decrescente no intervalo dado, então sim só tem uma raiz. Como pra saber se uma função é crescente ou não precisamos do sinal da derivada, vamos derivar então h x , beleza? Vamos ter:

h ' x = e sin ⁡ x - 3 x '

h ' x = sin ⁡ x ' e sin ⁡ x - 3

h ' x = cos ⁡ x e sin ⁡ x - 3

E veja só, como:

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

- 1 ≤ sin ⁡ x ≤ 1

Vamos ter que:

1 e ≤ e sin ⁡ x ≤ e

1 2,72 ≤ e sin ⁡ x ≤ 2,72

0,37 ≤ e sin ⁡ x ≤ 2,72

Veja que nenhum número nessas inequações, nem 0,37 , nem 2,72 , nem - 1 e nem 1 são maiores que 3 . Como a função subtrai

cos ⁡ x e sin ⁡ x < 3

De 3 , então de fato:

cos ⁡ x e sin ⁡ x - 3 < 0

E logo:

h ' x < 0

E fechamos! Se a primeira derivada, que representa a inclinação da reta tangente de h x , é sempre negativa, então h x é estritamente decrescente e só existe uma raíz de h x no intervalo dado.

Resposta

Sendo h x = f x - g x , foi provado que h x possui somente uma raiz no intervalo 0 ≤ x ≤ π 2 ao provar-se a existência de pelo menos uma e contatar que h ' x < 0