Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 285-22. MODIFICADO

Mostre que a função abaixo tem exatamente uma raiz no intervalo dado.

r θ = tan ( θ ) - cotg θ - θ , ( 0 , π / 2 )

Passo 1

Na fronteira esquerda do intervalo, a função não está definida, devido a cotangente que não existe em 0. Então, usamos o limite:

lim θ 0 tan ( θ ) - cotg θ - θ = 0 - - 0 = -

Que é negativo.

Na fronteira direita do intervalo, a função também não está definida, devido a tangente. Então, usamos novamente o limite:

lim θ π / 2 tan ( θ ) - cot θ - θ = - 0 - π 2 =

Que é positivo.

Como temos um valor negativo na fronteira esquerda do intervalo e outro positivo na fronteira direita, então, pelo TVI, existe uma raiz para x ( 0 , π / 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, para esta ser a única raiz, precisamos mostra que a função é monótona. Para isso, derivamos:

r ' θ = sec 2 ( θ ) + cossec 2 ( θ ) - 1

Precisamos mostrar que a derivada é sempre positiva ou negativa. Lembrando que:

tan 2 ( θ ) + 1 = sec 2 ( θ )

E:

cotg 2 ( θ ) + 1 = cossec 2 ( θ )

Assim:

r ' θ = tan 2 ( θ ) + 1 + cot 2 ( θ ) + 1 - 1 = tan 2 θ + cot 2 θ + 1

Os termos quadráticos serão sempre positivos. Acrescidos de 1 , a derivada será sempre maior que zero. Há, portanto, somente uma raiz na história.

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