Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

( b ) Seja f x = x 7 + π x 3 - 8 x 2 + e x + 1 .

i ) Quantas raízes reais distintas tem a equação f ' ' x = 0 ?

i i ) Mostre que a equação f x = 0 tem exatamente três raízes reais distintas.

Passo 1

( i ) Vamos calcular f ' ' ( x ) derivando a função duas vezes:

f ' x = 7 x 6 + 3 π x 2 - 16 x + e

f ' ' x = 42 x 5 + 6 π x - 16

Ora, a derivada segunda tem grau 5 . Nada podemos inferir sobre o número de suas raízes reais por enquanto. Exemplo, poderiam ser 5 ou só uma raiz. Agora, olha o que podemos fazer:

f ' ' ' x = 210 x 4 + 6 π

Repara, essa função f ' ' ' ( x ) será sempre positiva, já que 210 e 6 π são maiores que 0 e a potência x 4 sempre será positiva também! Podemos concluir então que f ' ' ( x ) será, portanto, estritamente crescente. Ora, se temos que

lim x → + ∞ ⁡ f ' ' x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f ' ' x = - ∞

Concluímos que f ' ' ( x ) vai vir de - ∞ , crescerá até cortar o eixo x num ponto qualquer e daí continuará crescendo em direção a + ∞ . Assim, só cruzará o eixo x uma vez, tendo ela só uma raiz!

Passo 2

( i i ) Temos que dividir essa questão em duas partes: provar que f ( x ) tem ao menos três raízes; e provar que tem exatamente 3 raízes. Vamos começar pela prova de ao menos 3 raízes.

Lembra do método clássico para determinar raízes? É o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função muda de sinal num intervalo e é contínua no mesmo intervalo sabemos que ela tem, no mínimo, uma raiz nesse intervalo. Agora, como chutar da cabeça pontos para analisar a função e seu sinal aleatoriamente? Geralmente quando caímos nesse tipo de questão e não temos nenhum valor de x de cara para chutar tentamos 0 e inteiros próximos a ele. Vou substituir f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) e f ( 2 ) para ver se já ocorrem três mudanças de sinal no intervalo:

f - 1 = - 1 - π - 8 - e + 1 = - ( π + e + 8 )

f 0 = 1

f 1 = 1 + π - 8 + e + 1

A p r o x i m a n d o : π ≈ 3,14   ; e ≈ 2,72

f 1 = 3,14 + 2,72 - 6 = - 0,14

f 2 = 128 + 8 π - 32 + 2 e + 1 = 127,56

Como comprovamos, a função muda de sinal de - 1 a 0 , de 0 a 1 , e de 1 a 2 . Concluímos que existem, no mínimo 3 raízes para a função.

Passo 3

Pensando agora em como provar que não existem mais que 3 raízes, para a função devemos recorrer à sua derivada segunda e terceira. Assim como provamos no item 1 da questão, f ' ' ( x ) só tinha uma raiz, já que f ' ' ' ( x ) era estritamente positiva, sendo a f ' ' ( x ) estritamente crescente.

Tem f ' ' ( x ) só uma raiz, nós podemos presumir que o número máximo de raízes de f ' ( x ) é 2 . Para ajudar a visualizar, imagina, por exemplo que f ' ' ( x ) é uma reta e f ' ( x ) uma parábola. Ora, se a reta cruza uma só vez o eixo x , sua integral pode ser uma parábola de 0 , 1 ou 2 raízes, mas nunca mais que isso, pois o regime de crescimento de f ' ( x ) depende do sinal de f ' ' que é positivo em uma região e será negativo em outra.

f ' ( x ) tendo no máximo duas raízes nos garante que, por um raciocínio similar ao que tivemos, o máximo de raízes de f ( x ) é 3 . Enfim, provamos que f ( x ) não pode ter mais que 3 raízes, então garantimos que f ( x ) tem exatamente 3 raízes.

Resposta

i   U m a   r a i z

i i   ( p r o v a d o   n o   d e s e n v o l v i m e n t o )