Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação

cos ⁡ x = x - 1

Tem uma solução no intervalo 0 , π 2 . Relemebre que π ≅ 3,14

Passo 1

Então pessoal, vamos começar revisando o que o teorema do valor intermediário diz pra gente.

Vamos supor que você tenha uma função contínua num intervalo que vai de a até b no eixo x e de f ( a ) até f ( b ) no eixo y .

Algo parecido com isso aqui:

Aí o teorema te diz o seguinte. Se você me disser algum valor que está entre f a e f b , então é garantido que em algum momento entre a e b , a função vai assumir esse valor.

Por exemplo, você me diz que d está entre f a e f b . Então eu posso ter certeza que existe algum ponto c entre a   e b que satisfaz:

f c = d

Passo 2

Beleza, como a gente pode usar isso pra provar que a equação tem uma solução entre 0 e π / 2 ?

Bom, vamos começar olhando a igualdade:

cos ⁡ x = x - 1

x - 1 - cos ⁡ x = 0

A solução dessa equação acontece quando essa função aqui:

f x = x - 1 - cos ⁡ x

É igual a zero!

Então a gente tem que provar que existe algum ponto entre 0 e π / 2 em que f x = 0 . Percebeu a semelhança com o que foi dito lá na nossa explicação do TVI?

Passo 3

Já que a função f x é contínua, a gente quer provar que o zero fica entre f ( 0 ) e f ( π / 2 ) .

Se isso acontece, então é garantido pelo TVI que existe algum ponto entre 0 e π 2 que satisfaz f x = 0 .

Ou seja, existe algum ponto nesse intervalo que é solução da equação.

Então vamos calcular f ( 0 ) :

f x = x - 1 - cos ⁡ x         ⇒           f 0 = 0 - 1 - cos ⁡ 0

f 0 = 0 - 1 - 1 = - 2

E f ( π / 2 ) :

f x = x - 1 - cos ⁡ x         ⇒           f π 2 = π 2 - 1 - cos ⁡ π 2

f π 2 = π 2 - 1 - 0 = π 2 - 1

Lembrando que π ≅ 3,14 , dá pra aproximar esse resultado:

f π 2 ≈ 3,14 2 - 1 = 1,57 - 1 = 0,57

Beleza! Isso satisfaz a condição que a gente queria:

- 2 ≤ 0 ≤ 0,57

Dá uma olhada no gráfico:

Então existe solução no intervalo que foi dado!

Resposta

Demonstração.