Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

B é uma 10 × 4 cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a 3 . Qual é a dimensão do Núcleo de B ?

  1. 2 .
  2. 3 .
  3. 1 .
  4. 7 .

Passo 1

Tranquileba pessoal, o enunciado disse pra gente que a matriz B tem dimensões ( 10 × 4 ) , isto é, dado B m × n temos m = 10 e n = 4 . Além disso, ele afirma pra gente que o espaço coluna dessa matriz tem dimensão igual a 3 , e pede para descobrirmos a dimensão do Núcleo de B , e é ai que ele começa com a malícia.

Porque quando ele diz o espaço formado pelas colunas, precisamos lembrar que o espaço coluna tem a mesma dimensão da Imagem.

dim ⁡ E .     C o l u n a B = dim ⁡ I m a g e m B

Então quando ele diz que o espaço coluna tem dimensão igual a 3 , na verdade ele ta querendo dizer que a dim ⁡ I m a g e m B = 3 .

Passo 2

Tá começando a ficar bonito, agora que a gente sabe disso, podemos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para relacionar essas duas dimensões, isto é, dada uma matriz B ( m × n ) o teorema afirma que:

dim ⁡ N ú c l e o B + dim ⁡ I m a g e m B = n

Logo, para B ( 10 × 4 ) , temos:

dim ⁡ N ú c l e o B + dim ⁡ I m a g e m B = 4

E substituindo o valor de dim ⁡ I m a g e m B = 3 , chegamos em:

dim ⁡ N ú c l e o B + 3 = 4

Logo:

dim ⁡ N ú c l e o B = 4 - 3

dim ⁡ N ú c l e o B = 1

Portanto, a dimensão do núcleo de B é igual a 1, letra (c).

Resposta

Letra c, dim ⁡ N ú c l e o B = 1 .