Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Ver Teoria

Enunciado

Considere T : R 4 → R 3 definida por T x ,   y ,   z ,   w = 5 y + x + w ,   - 2 z + y - 3 w ,   2 z + 9 y + 2 x + 5 w . Então a dimensão da imagem de T menos a dimensão do núcleo de T vale:

  1. 1 .
  2. 3 .
  3. 0 .
  4. 2 .

Passo 1

Belezera galerinha, temos a transformação T : R 4 → R 3 definida por T x ,   y ,   z ,   w = 5 y + x + w ,   - 2 z + y - 3 w ,   2 z + 9 y + 2 x + 5 w e queremos encontrar a diferença entre as dimensões do núcleo e da imagem, isto é:

dim ⁡ I m a g e m T - dim ⁡ ( N ú c l e o T

E para encontrarmos o valor de cada dimensão, podemos descobrir a matriz que representa T e analisarmos suas propriedades, vem comigo.

Passo 2

A transformação é dada como:

T x ,   y ,   z ,   w = 5 y + x + w ,   - 2 z + y - 3 w ,   2 z + 9 y + 2 x + 5 w

Ou melhor:

T x y z w = 5 y + x + w - 2 z + y - 3 w 2 z + 9 y + 2 x + 5 w

E organizando os termos na ordem de casa elemento, temos que:

T x y z w = x + 5 y + 0 z + w 0 x + y - 2 z - 3 w 2 x + 9 y + 2 z + 5 w

Portanto, podemos “retirar” as variáveis x ,   y ,   z   e w da parte direita da equação, desse jeito:

T x y z w = 1 5 0 1 0 1 - 2 - 3 2 9 2 5 x y z w

Logo, temos que:

T = 1 5 0 1 0 1 - 2 - 3 2 9 2 5

Passo 3

Irados, agora que encontramos a matriz T , podemos descobrir as dimensões da imagem e do núcleo. Pra isso, vamo escalonar essa matriz ai, vamos fazer a Linha 3, menos duas vezes a Linha 1, desse jeito:

1 5 0 1 0 1 - 2 - 3 2 9 2 5 ⇒     L 3 = L 3 - 2 L 1 = 1 5 0 1 0 1 - 2 - 3 0 - 1 2 3  

E agora somando as duas últimas linhas, temos:

1 5 0 1 0 1 - 2 - 3 0 - 1 2 3 ⇒     L 3 = L 3 + L 2 = 1 5 0 1 0 1 - 2 - 3 0 0 0 0

Logo, temos duas linhas linearmente independentes. E como número de linhas L.I é igual ao número de colunas L.I, temos então duas colunas L.I. E a dimensão da imagem é dada pela quantidade de colunas linearmente independentes que temos, e nesse caso temos duas, logo:

dim ⁡ I m a g e m T = 2

Passo 4

E dado que para matriz T ( m × n ) , o Teorema do Núcleo e Imagem diz que:

dim ⁡ N ú c l e o T + dim ⁡ I m a g e m T = n

Logo, para nossa matriz T ( 3 × 4 ) temos que:

dim ⁡ N ú c l e o T + dim ⁡ I m a g e m T = 4

Substituindo o valor de dim ⁡ I m a g e m T = 2 ficamos assim:

dim ⁡ N ú c l e o T + 2 = 4

dim ⁡ N ú c l e o T = 2

Portanto acabamos por descobrir que:

dim ⁡ N ú c l e o T = dim ⁡ I m a g e m T = 2

Passo 5

E já que queremos encontrar a diferença:

dim ⁡ I m a g e m T - dim ⁡ ( N ú c l e o T

Vamos obter:

2 - 2 = 0

Logo a diferença é igual a 0 . Alternativa (c).

Resposta

Letra c.