Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 2 uma transformação linear tal que T 1 , 2,3 = 2,3 e T 3,2 , 1 = 2,1 . Todas as afirmativas abaixo são necessariamente verdadeiras, à exceção de:

a   T 1,1 , 1 = 1,1

b   T não é injetiva.

c   T 1 , - 2,1 = - 2,1

d   T é sobrejetiva.

Passo 1

Vamos letra por letra:

a T 1,1 , 1 = 1,1

Essa vamos fazer tirando vantagem da linearidade do produto interno! Primeiro escrevemos 1 , 1,1 em função dos vetores 1,2 , 3 e 3,2 , 1 já que conhecemos o valor da T L aplicada neles.

1,1 , 1 = a 1,2 , 3 + b 3,2 , 1

a + 3 b = 1 2 a + 2 b = 1 3 a + b = 1       I I I I I I

Pela I temos que:

a = 1 - 3 b

Substituindo na I I :

2 1 - 3 b + 2 b = 1

2 - 6 b + 2 b = 1

4 b = 1

b = 1 4

Agora substituímos de novo na I :

a + 3 4 = 1 ⇒ a = 1 4

Passo 2

Sendo assim, temos:

1,1 , 1 = 1 4 1,2 , 3 + 1 4 3,2 , 1

1,1 , 1 = 1 4 T 1,2 , 3 + 1 4 T 3,2 , 1

T 1,1 , 1 = 1 4 T 1,2 , 3 + T 3,2 , 1

T 1,1 , 1 = 1 4 2,3 + 2,1

T 1,1 , 1 = 4,4 4 = 1,1

Chegamos no resultado da alternativa. Então essa é verdadeira! Mas queremos a falsa então vamos para a próxima letra.

Passo 3

b Bom, se T não é injetiva, então a dimensão do seu núcleo é sempre maior que 0 . Se analisarmos essa nossa transformação pelo T N I , teremos que:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T

Mas sabemos que o domínio de T é o R 3 . Além disso, sabemos que a imagem está no contradomínio que é o R 2 . Isso quer dizer que a dimensão da imagem está limitada a no máximo 2 ! Se jogarmos isso na nossa equação:

dim ⁡ N u c T + 2 = 3

dim ⁡ N u c T = 1

Ou seja, para o valor máximo da dimensão da nossa imagem, nosso núcleo tem dimensão 1 . Se diminuirmos a dimensão da imagem a dimensão do núcleo só aumentará! Então é impossível termos o núcleo com dimensão 0 e ela realmente não é injetiva.

Passo 4

c   T 1 , - 2,1 = - 2,1

Novamente, vamos usar a linearidade da transformação, mas dessa vez vamos usar nos resultados! Assim oh:

- 2,1 = a 2,3 + b 2,1

2 a + 2 b = - 2 3 a + b = 1       I I I

Isolando b em I I :

b = 1 - 3 a

Substituindo em I :

2 a + 2 1 - 3 a = - 2

2 a + 2 - 6 a = - 2

- 4 a = - 4

a = 1

Substituindo de novo em I I :

2 + 2 b = - 2

2 b = - 4

b = - 2

Passo 5

Logos, temos que:

- 2,1 = 2,3 - 2 2,1

T 1 , - 2,1 = T 1,2 , 3 - 2 T 3,2 , 1

T 1 , - 2,1 = T 1,2 , 3 + T - 6 , - 4 , - 2

T 1 , - 2,1 = T - 5 , - 2,1

Claramente não bate, então essa é a falsa que estávamos procurando! Mesmo tendo achado a resposta vamos dar uma olhada na última alternativa,

Passo 6

d Se T é sobrejetiva, então a dimensão da sua imagem é igual à dimensão do seu contradomínio, que no caso é 2 . Ta, mas e como descobrimos a dimensão da imagem? Bom, o enunciado já deu pra gente de bandeja! Repare que as transformações que ele deu:

T 1,2 , 3 = 2,3

T 3,2 , 1 = 2,1

Geram dois vetores diferentes no R 2 ! Se a transformação é capaz de gerar dois vetores L I do R 2 então ela é capaz de gerar o R 2 inteiro! Então essa é verdadeira como esperávamos.

Resposta

Letra c