Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 . Considere as afirmativas:

  1. dim ⁡ ( N ú c l e o A ) pode ser maior do que dim ⁡ I m a g e m A .
  2. dim ⁡ N ú c l e o A   pode ser igual a dim ⁡ I m a g e m A .
  1. (I) é falsa e (II) é falsa.
  2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  3. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Belezera galerinha, dada uma matriz A ( 3 × 3 ) , queremos analisar as possibilidades sobre a dimensão do Núcleo e a dimensão da Imagem dessa matriz. E a gente tem um teorema muito bonitinho que por pura coincidência relaciona essas duas grandezas, pasmem, é o Teorema do Núcleo e Imagem, ou para os mais íntimos, Teorema Fundamental da Álgebra, ele diz que dada uma matriz A ( m × n ) , temos que:

dim ⁡ N ú c l e o A + dim ⁡ I m a g e m A = n

Passo 2

Então é isso mesmo produção!? Quer dizer que temos a matriz A ( 3 × 3 ) , onde n = 3 , portanto:

dim ⁡ N ú c l e o A + dim ⁡ I m a g e m A = 3

E a afirmativa (I), tá dizendo que a dim ⁡ ( N ú c l e o A ) pode ser maior do que dim ⁡ I m a g e m A . E ora bolas, se tivéssemos por exemplo dim ⁡ N ú c l e o A = 2 , pelo teorema, ficaríamos com:

2 + dim ⁡ I m a g e m A = 3

dim ⁡ I m a g e m A = 1

E 2 > 1 , logo, dim ⁡ N ú c l e o A > dim ⁡ I m a g e m A

Portanto a afirmativa (I) é verdadeira.

Passo 3

Agora na afirmativa (II), tá dizendo que dim ⁡ N ú c l e o A   pode ser igual a dim ⁡ I m a g e m A , maass, se dim ⁡ N ú c l e o A = dim ⁡ I m a g e m A temos que:

dim ⁡ N ú c l e o A + dim ⁡ N ú c l e o A = 3

2 dim ⁡ N ú c l e o A = 3

dim ⁡ N ú c l e o A = 3 2

E (in)felizmente, não podemos ter uma dimensão fracionada, sempre sempre sempre, a dimensão de um espaço vetorial vai ter que ser inteira! Portanto a afirmativa (II) é falsa!! E a reposta é letra (b).

Resposta

Letra b.

  1. Verdadeira.
  2. Falsa.