Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 4 , definida por T ( x ,   y ,   z ) = ( x + 5 y ,     x - 3 z ,     y ,     x + z ) .

A) Determine a matriz canônica de T .

B) T é injetora?

C) T é sobrejetora?

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Essa questão é muito interessante, para calcular a matriz canônica de T , vamos aplicar os valores canônicos na transformação T , mas você está lembrado o que são as bases canônicas?

A base canônica de um espaço vetorial ou de outras estruturas algébricas é a base mais primitiva e intuitiva para a estrutura. Na prática, é como se pegássemos um vetor genérico x , y , z … e substituir cada variável por 1 , uma de cada vez. Como no nosso exemplo temos T ( x ,   y ,   z ) , T está em R 3 , portanto a base canônica nesse caso é composta por três vetores 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 e 0,0 , 1 .

Substituindo a base canônica de R 3 em T , temos:

T ( x ,   y ,   z ) = ( x + 5 y ,   x - 3 z ,   y ,   x + z )

T ( 1,0 , 0 ) T 0,1 , 0 T 0,0 , 1

Primeiro para T ( 1,0 , 0 )

T 1,0 , 0 = 1 + 5 0 ,   1 - 3 0 ,   0 ,   1 - 0

T 1,0 , 0 = 1 ,   1 ,   0 ,   1

Agora para T ( 0,1 , 0 )

T 0,1 , 0 = 0 + 5 1 ,   0 - 3 0 ,   1 ,   0 + 0

T 0,1 , 0 = 5 ,   0 ,   1 ,   0

Por fim, para T ( 0,0 , 1 )

T 0,0 , 1 = 0 + 5 0 ,   0 - 3 1 ,   0 ,   0 + 1

T 0,0 , 1 = 0 ,   - 3 ,   0 ,   1

Calculando a transformação a partir de uma base canônica, encontramos

T 1,0 , 0 = 1 ,   1 ,   0 ,   1 T 0,1 , 0 = 5 ,   0 ,   1 ,   0 T 0,0 , 1 = 0 ,   - 3 ,   0 ,   1

Ou seja, nossa matriz será

T e = 1 5 0 1 0 - 3 0 1 0 1 0 1

Passo 2

Para classificar nossa matriz, vamos escalonar os vetores resultantes da transformação da base canônica ou escalonar a matriz transposta de T e para saber a dimensão da imagem da transformação.

Está entendendo?

Vamos lá! Vai ficar mais claro.

A matriz transposta de T e é

1 1 0 1 5 0 1 0 0 - 3 0 1

Escalonando, vamos descobrir se é L.I. ou L.D.

1 1 0 1 5 0 1 0 0 - 3 0 1 L 2 → L 2 - 5 L 1

1 1 0 1 0 - 5 1 - 5 0 - 3 0 1 L 1 → 5 L 1 + L 2 L 3 → L 3 5 - 3 L 2

1 0 1 0 0 - 5 1 - 5 0 0 - 3 4 5

A partir dessa matriz que calculamos, vemos que nenhuma linha zerou, ou seja, são linearmente independentes

Isso significa que os vetores

T 1,0 , 0 = 1 ,   1 ,   0 ,   1 T 0,1 , 0 = 5 ,   0 ,   1 ,   0 T 0,0 , 1 = 0 ,   - 3 ,   0 ,   1

São base para o subespaço gerado pela transformação T .

Passo 3

Finalmente para descobrir se T é sobrejetora ou injetora, vamos analisar a dimensão da base que calculamos

D i m b a s e T = 3

Para ser sobrejetora, a dimensão da base deve ser igual a dimensão do conjunto de chegada, se isso não se confirmar, a transformação se classifica como injetora.

Se T : R 3 → R 4 , a dimensão do conjunto de chegada da transformação é 4 , o que é diferente da dimensão da transformação que calculamos como 3 , logo, a transformação se classifica como injetora.

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A) T e = 1 5 0 1 0 - 3 0 1 0 1 0 1

B) É injetora

C) Não é sobrejetora