Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Considere a transformação linear T : R ³ → M 2 X 2 dada por:

T x , y , z =   a x + y x + y - z 0 z

a) Determine os valores de a para os quais T   é injetora.

b) Para a = 0 . T   é sobrejetora? T é bijetora? Justifique.

Passo 1

Para que T seja injetora, necessariamente o K e r   T = 0 . Então precisamos calculá-lo, vamos nessa?

K e r   T = x , y , z ∈ R 3 : T x , y , z = 0

Ou seja,

a x + y = 0   ( I ) x + y - z = 0   ( I I ) 0 = 0   ( I I I ) z = 0   ( I V )

Substituindo (IV) em (II) e (II) em (I), teremos:

- a y + y = 0   ( I ) x = - y   ( I I ) z = 0 ( I I I )

Olhando agora para a equação (I), temos que - a y + y = 0 , ou seja, y ( - a + 1 ) = 0

Isso significa que só teremos y igual a zero, caso - a + 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ 1 . É parecido com a ideia que vimos lá no ensino médio, na resolução de equações do segundo grau onde “c=0”

Sendo assim, a solução do nosso problema, depende de a ≠ 1 .   Somente assim teremos K e r   T = 0

Passo 2

Vamos agora ao item b), se a = 0 , então K e r   T = 0 , pelo que vimos no Passo 1.

Podemos então aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem:

dim ⁡ R 3 = dim ⁡ K e r   T + dim ⁡ I m   T 3 = 0 + dim ⁡ I m   T

dim ⁡ I m   T = 3

Presta atenção no seguinte: ⁡ I m   T está contido em M 2 x 2 e dim ⁡ I m   T = 3 < 4 = d i m   M 2 x 2 .

Sendo assim, T não é sobrejetora e consequentemente, também não é bijetora

Resposta

a)Somente para a ≠ 1

b) T não é sobrejetora e consequentemente, também não é bijetora